三角形ABCの外心O, 内心I, 外接円の半径R, 内接円の半径rとしたとき,OIの関係を調べる問題です。空欄アからクを埋める必要があります。

1. 問題の内容

三角形ABCの外心O, 内心I, 外接円の半径R, 内接円の半径rとしたとき,OIの関係を調べる問題です。空欄アからクを埋める必要があります。

2. 解き方の手順

ア: $\angle HAI = \angle BAI$

イ: $\triangle AHI$ と $\triangle EBD$は相似なので，$ED:AI=BD:HI$となり、$ED:AI=BD:AI:HI$が成り立つ。

ウ: $AI = \frac{r}{\sin \frac{A}{2}}$より、$\frac{ED}{AI}=\frac{BD}{HI}$ であるから $AI \cdot BD = \frac{r}{\sin \frac{A}{2}}BD = 2R\sin\frac{A}{2}BD$ より $AI=\frac{r}{\sin A/2}$,　$BD=2R\sin\frac{A}{2}なので AI \cdot \text{BD}=2Rr=2R\sin\frac{A}{2}$。　したがって、$\frac{ED}{BD} = HI$より　$AI \cdot BD = \frac{r}{\sin (A/2)}2R\sin (A/2)=2Rr$であるから$AI=2Rr$　したがって$AI=2R \cdot r$ よってウは

2. エ: $\angle CAD = \angle CBD$ より $\angle BAI = \angle CBI$

オ: $\angle ABI = \angle CBI, \angle BAI = \angle CAD = \angle CBD$ であるから, $\angle DIB = \angle DBI$

カ: $\triangle DBI$ は二等辺三角形なので、$BD=DI$

キ: 方べきの定理より $AI\cdot ID=(FO+OI)(GO-OI) = (R+OI)(R-OI) = R^2-OI^2$. よって$AI\cdot BD = (FO+OI)(OG-OI)=R^2-OI^2$。　$AI\cdot \text{カ}=(FO+\text{キ})(GO-\text{キ})=R^2-OI^2$

ク: $OI^2 = R^2-2Rr$

よって

ア: 2

イ: 3

ウ: 2

エ: 5

オ: 3

カ: 2

キ: 5

ク: 3

3. 最終的な答え

ア: 2 (BAI)

イ: 3 (BD)

ウ: 2

エ: 5 (GAC)

オ: 3 (DBI)

カ: 2 (BD)

キ: 5 (OI)

ク: 3 (2Rr)