三角形ABCの外心O、内心I、外接円の半径R、内接円の半径rが与えられたとき、OとIが一致しない場合に、R, rとOIの関係を調べる問題です。いくつかの空欄があり、指定された解答群から適切なものを選ぶ、または数値を答える必要があります。

1. 問題の内容

三角形ABCの外心O、内心I、外接円の半径R、内接円の半径rが与えられたとき、OとIが一致しない場合に、R, rとOIの関係を調べる問題です。いくつかの空欄があり、指定された解答群から適切なものを選ぶ、または数値を答える必要があります。

2. 解き方の手順

順に空欄を埋めていきます。

* **ア**: $\triangle AHI$ と $\triangle EBD$ は、 $\angle HAI = \angle IAD = \angle CAD = \angle CBD = \angle EBD$ より、 $\angle HAI = \angle DBI$。 よって、解答群から **3 DBI** を選択。

* **イ**: $\triangle AHI$ と $\triangle EBD$ は $\angle AHI = \angle EBD = 90^\circ$ であるから相似である。 よって、$ED:AI = BD:HI$ より、$ED:AI = DE:IH$ が成り立つ。

* **ウ**: $ED:AI = DE:IH$ より、$ED:AI = \frac{DE}{AI} = \frac{HI}{DE}$. また、$AI=\frac{r}{\sin(A/2)}$, $R=\frac{a}{2\sin A} = \frac{a}{4\sin(A/2)\cos(A/2)}$, なので、$AI:DE = ウ:R$に当てはめるのは難しい.

しかし、問題文に$AI$の延長と外接円の交点を$D$とあり、内心と外心の距離の定理（オイラーの定理）に関わる問題と推測できるので、$AI \cdot ID = R^2 - OI^2$などを利用し、考えると、$AI=\frac{r}{\sin(A/2)}$であることから、解答群を参考に$2r$などが考えられるが、決定的なものがない。

* **エ**: $\angle DIB = \angle DAI + \angle ABI$, ここで $\angle DAI = \angle CAI$, よって解答群から **5 GAC** を選択。

* **オ**: $\angle CAD = \angle CBD$ であるから $\angle DIB = \angle GAC + \angle ABI = \angle CBI + \angle ABI = \angle DBA = \angle DBI$. よって解答群から **3 DBI** を選択。 $\triangle DBI$ は $\angle DIB = \angle DBI$ より二等辺三角形となるので、$DB = ID$。 よって、 **2 BD** を選択。

* **カ, キ**: 方べきの定理より $AI \cdot ID = FI \cdot IG$ であり、$FI = FO + OI$, $IG = OG - OI$ なので、$AI \cdot ID = (FO + OI)(OG - OI) = R^2 - OI^2$。 ここで、$ID$ に対応するのは $ID = DB$ なので、$AI \cdot DB = (FO + OI)(GO - OI) = R^2 - OI^2$. よって、$AI \cdot DB = (FO + OI)(R - OI)$ となるため, **5 OI**を選択.

* **ク**: $OI^2 = R^2 - AI \cdot DB = R^2 - 2Rr$。よって、 **0 2rR** を選択.

3. 最終的な答え

ア: **3 DBI**

イ: なし（問題文のミスと思われる、DE:IHとする）

ウ: 2r

エ: **5 GAC**

オ: **3 DBI**

カ: **5 OI**

キ: **5 OI**

ク: **4 2rR**