1, 2, 3, 4, 5の数字の中から異なる4つの数字を使って4桁の整数を作る。 (1) 奇数は何個できるか。 (2) 3400より大きい整数は何個できるか。

1. 問題の内容

1, 2, 3, 4, 5の数字の中から異なる4つの数字を使って4桁の整数を作る。

(1) 奇数は何個できるか。

(2) 3400より大きい整数は何個できるか。

2. 解き方の手順

(1) 奇数の個数

4桁の整数が奇数であるためには、一の位が奇数である必要がある。

1, 3, 5のいずれかが一の位に来る。

* 一の位が1の場合：残りの3つの位には2, 3, 4, 5から3つを選ぶ。並べ方は $4 \times 3 \times 2 = 24$通り。

* 一の位が3の場合：残りの3つの位には1, 2, 4, 5から3つを選ぶ。並べ方は $4 \times 3 \times 2 = 24$通り。

* 一の位が5の場合：残りの3つの位には1, 2, 3, 4から3つを選ぶ。並べ方は $4 \times 3 \times 2 = 24$通り。

したがって、奇数の個数は $24 + 24 + 24 = 72$個。

(2) 3400より大きい整数の個数

3400より大きい整数を考える。千の位が4か5の場合と、千の位が3で百の位が4か5の場合を考える。

* 千の位が4の場合：残りの3つの位には1, 2, 3, 5から3つを選ぶ。並べ方は $4 \times 3 \times 2 = 24$通り。

* 千の位が5の場合：残りの3つの位には1, 2, 3, 4から3つを選ぶ。並べ方は $4 \times 3 \times 2 = 24$通り。

* 千の位が3で、百の位が4の場合：残りの十の位と一の位には1, 2, 5から2つを選ぶ。並べ方は $3 \times 2 = 6$通り。

* 千の位が3で、百の位が5の場合：残りの十の位と一の位には1, 2, 4から2つを選ぶ。並べ方は $3 \times 2 = 6$通り。

したがって、3400より大きい整数の個数は $24 + 24 + 6 + 6 = 60$個。

3. 最終的な答え

(1) 72個

(2) 60個