全体集合 $U$ の部分集合 $A, B$ について、与えられた要素の個数 $n(U) = 90$, $n(A) = 37$, $n(B) = 41$, $n(A \cap B) = 15$ を用いて、$n(A \cup B)$ と $n(\overline{A \cup B})$ を求める問題です。

1. 問題の内容

全体集合 $U$ の部分集合 $A, B$ について、与えられた要素の個数 $n(U) = 90$, $n(A) = 37$, $n(B) = 41$, $n(A \cap B) = 15$ を用いて、$n(A \cup B)$ と $n(\overline{A \cup B})$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$n(A \cup B)$ を求めます。

集合の要素の個数に関する公式 $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ を使います。

与えられた値を代入すると、

$n(A \cup B) = 37 + 41 - 15 = 78 - 15 = 63$

となります。

次に、$n(\overline{A \cup B})$ を求めます。

$\overline{A \cup B}$ は $A \cup B$ の補集合であり、全体集合 $U$ から $A \cup B$ の要素を取り除いたものです。

したがって、$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)$ となります。

与えられた値と先ほど求めた $n(A \cup B)$ を代入すると、

$n(\overline{A \cup B}) = 90 - 63 = 27$

となります。

3. 最終的な答え

$n(A \cup B) = 63$

$n(\overline{A \cup B}) = 27$