与えられた2次式を平方完成させる問題です。例として、以下の2次式を平方完成させます。 (1) $x^2 + 4x$ (2) $3x^2 + 6x + 3$ (3) $-x^2 - 3x + 2$ (4) $x^2 + 2ax$ (5) $x^2 + ax$ 追加問題として、以下の2次式を平方完成させます。 (1) $x^2 - 2x + 3$ (2) $-2x^2 + 2x + 1$ (3) $-\frac{1}{2}x^2 - x$ (4) $2x^2 + 3x + 4$ (5) $ax^2 + bx + c$

1. 問題の内容

与えられた2次式を平方完成させる問題です。例として、以下の2次式を平方完成させます。

(1) $x^2 + 4x$

(2) $3x^2 + 6x + 3$

(3) $-x^2 - 3x + 2$

(4) $x^2 + 2ax$

(5) $x^2 + ax$

追加問題として、以下の2次式を平方完成させます。

(1) $x^2 - 2x + 3$

(2) $-2x^2 + 2x + 1$

(3) $-\frac{1}{2}x^2 - x$

(4) $2x^2 + 3x + 4$

(5) $ax^2 + bx + c$

2. 解き方の手順

平方完成の一般的な手順は、以下の通りです。

a. $x^2$ の係数で全体をくくる。

b. $x$ の係数の半分を2乗したものを足して引く。

c. $(x + \frac{xの係数}{2})^2$ の形を作る。

d. 定数項を整理する。

例題

(1) $x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 2^2 = (x + 2)^2 - 4$

(2) $3x^2 + 6x + 3 = 3(x^2 + 2x + 1) = 3(x + 1)^2$

(3) $-x^2 - 3x + 2 = -(x^2 + 3x) + 2 = -(x + \frac{3}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2 + 2 = -(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4} + \frac{8}{4} = -(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{17}{4}$

(4) $x^2 + 2ax = (x + a)^2 - a^2$

(5) $x^2 + ax = (x + \frac{a}{2})^2 - (\frac{a}{2})^2 = (x + \frac{a}{2})^2 - \frac{a^2}{4}$

追加問題

(1) $x^2 - 2x + 3 = (x - 1)^2 - 1^2 + 3 = (x - 1)^2 + 2$

(2) $-2x^2 + 2x + 1 = -2(x^2 - x) + 1 = -2(x - \frac{1}{2})^2 + 2(\frac{1}{4}) + 1 = -2(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} + 1 = -2(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{2}$

(3) $-\frac{1}{2}x^2 - x = -\frac{1}{2}(x^2 + 2x) = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 + \frac{1}{2}$

(4) $2x^2 + 3x + 4 = 2(x^2 + \frac{3}{2}x) + 4 = 2(x + \frac{3}{4})^2 - 2(\frac{9}{16}) + 4 = 2(x + \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{8} + \frac{32}{8} = 2(x + \frac{3}{4})^2 + \frac{23}{8}$

(5) $ax^2 + bx + c = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c = a(x + \frac{b}{2a})^2 - a(\frac{b^2}{4a^2}) + c = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c = a(x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$

3. 最終的な答え

例)

(1) $(x + 2)^2 - 4$

(2) $3(x + 1)^2$

(3) $-(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{17}{4}$

(4) $(x + a)^2 - a^2$

(5) $(x + \frac{a}{2})^2 - \frac{a^2}{4}$

追加問題)

(1) $(x - 1)^2 + 2$

(2) $-2(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{2}$

(3) $-\frac{1}{2}(x + 1)^2 + \frac{1}{2}$

(4) $2(x + \frac{3}{4})^2 + \frac{23}{8}$

(5) $a(x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$