この問題は、複数の直線の方程式が与えられたときに、以下の問いに答えるものです。 (1) 互いに平行な直線と、互いに垂直な直線の組み合わせをそれぞれ答える。 (2) 互いに平行な直線と、互いに垂直な直線の組み合わせをそれぞれ答える。 (3) 与えられた点を通る、指定された直線に平行な直線の方程式を求める。 (4) 与えられた点を通る、指定された直線に平行な直線の方程式を求める。 (5) 与えられた点を通る、指定された直線に平行な直線の方程式を求める。 (6) 与えられた点を通る、指定された直線に垂直な直線の方程式を求める。 (7) 与えられた点を通る、指定された直線に垂直な直線の方程式を求める。 (8) 与えられた点を通る、指定された直線に垂直な直線の方程式を求める。

はい、承知いたしました。それでは、問題の解答を作成します。

1. 問題の内容

この問題は、複数の直線の方程式が与えられたときに、以下の問いに答えるものです。

(1) 互いに平行な直線と、互いに垂直な直線の組み合わせをそれぞれ答える。

(2) 互いに平行な直線と、互いに垂直な直線の組み合わせをそれぞれ答える。

(3) 与えられた点を通る、指定された直線に平行な直線の方程式を求める。

(4) 与えられた点を通る、指定された直線に平行な直線の方程式を求める。

(5) 与えられた点を通る、指定された直線に平行な直線の方程式を求める。

(6) 与えられた点を通る、指定された直線に垂直な直線の方程式を求める。

(7) 与えられた点を通る、指定された直線に垂直な直線の方程式を求める。

(8) 与えられた点を通る、指定された直線に垂直な直線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、すべての直線の方程式を $y = mx + b$ の形に変形し、傾き $m$ を求めます。

平行な直線は傾きが等しく、$m_1 = m_2$ が成り立ちます。

垂直な直線は、傾きの積が $-1$ になる、つまり、$m_1 \cdot m_2 = -1$ が成り立ちます。

(2)

同様に、すべての直線の方程式を $y = mx + b$ の形に変形し、傾き $m$ を求めます。

平行な直線は傾きが等しく、$m_1 = m_2$ が成り立ちます。

垂直な直線は、傾きの積が $-1$ になる、つまり、$m_1 \cdot m_2 = -1$ が成り立ちます。

(3)

与えられた直線 $2x - y + 5 = 0$ を $y = mx + b$ の形に変形すると、$y = 2x + 5$ となり、傾きは $2$ です。

平行な直線の傾きも $2$ なので、求める直線の方程式は $y = 2x + c$ と表せます。

この直線が点 $(1, -2)$ を通るので、$x = 1, y = -2$ を代入して、$c$ を求めます。

$-2 = 2 \cdot 1 + c$ より、$c = -4$ です。

したがって、求める直線の方程式は $y = 2x - 4$、または $2x - y - 4 = 0$ です。

(4)

与えられた直線 $2x + 3y = 0$ を $y = mx + b$ の形に変形すると、$y = -\frac{2}{3}x$ となり、傾きは $-\frac{2}{3}$ です。

平行な直線の傾きも $-\frac{2}{3}$ なので、求める直線の方程式は $y = -\frac{2}{3}x + c$ と表せます。

この直線が点 $(-1, 2)$ を通るので、$x = -1, y = 2$ を代入して、$c$ を求めます。

$2 = -\frac{2}{3} \cdot (-1) + c$ より、$c = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$ です。

したがって、求める直線の方程式は $y = -\frac{2}{3}x + \frac{4}{3}$、または $2x + 3y - 4 = 0$ です。

(5)

与えられた直線 $3x + 2y + 1 = 0$ を $y = mx + b$ の形に変形すると、$y = -\frac{3}{2}x - \frac{1}{2}$ となり、傾きは $-\frac{3}{2}$ です。

平行な直線の傾きも $-\frac{3}{2}$ なので、求める直線の方程式は $y = -\frac{3}{2}x + c$ と表せます。

この直線が点 $(3, -1)$ を通るので、$x = 3, y = -1$ を代入して、$c$ を求めます。

$-1 = -\frac{3}{2} \cdot 3 + c$ より、$c = -1 + \frac{9}{2} = \frac{7}{2}$ です。

したがって、求める直線の方程式は $y = -\frac{3}{2}x + \frac{7}{2}$、または $3x + 2y - 7 = 0$ です。

(6)

与えられた直線 $2x + y - 1 = 0$ を $y = mx + b$ の形に変形すると、$y = -2x + 1$ となり、傾きは $-2$ です。

垂直な直線の傾きは $\frac{1}{2}$ なので、求める直線の方程式は $y = \frac{1}{2}x + c$ と表せます。

この直線が点 $(2, -5)$ を通るので、$x = 2, y = -5$ を代入して、$c$ を求めます。

$-5 = \frac{1}{2} \cdot 2 + c$ より、$c = -5 - 1 = -6$ です。

したがって、求める直線の方程式は $y = \frac{1}{2}x - 6$、または $x - 2y - 12 = 0$ です。

(7)

与えられた直線 $5x - 2y + 3 = 0$ を $y = mx + b$ の形に変形すると、$y = \frac{5}{2}x + \frac{3}{2}$ となり、傾きは $\frac{5}{2}$ です。

垂直な直線の傾きは $-\frac{2}{5}$ なので、求める直線の方程式は $y = -\frac{2}{5}x + c$ と表せます。

この直線が点 $(-1, 3)$ を通るので、$x = -1, y = 3$ を代入して、$c$ を求めます。

$3 = -\frac{2}{5} \cdot (-1) + c$ より、$c = 3 - \frac{2}{5} = \frac{13}{5}$ です。

したがって、求める直線の方程式は $y = -\frac{2}{5}x + \frac{13}{5}$、または $2x + 5y - 13 = 0$ です。

(8)

与えられた直線 $3x - 2y - 7 = 0$ を $y = mx + b$ の形に変形すると、$y = \frac{3}{2}x - \frac{7}{2}$ となり、傾きは $\frac{3}{2}$ です。

垂直な直線の傾きは $-\frac{2}{3}$ なので、求める直線の方程式は $y = -\frac{2}{3}x + c$ と表せます。

この直線が点 $(-2, -5)$ を通るので、$x = -2, y = -5$ を代入して、$c$ を求めます。

$-5 = -\frac{2}{3} \cdot (-2) + c$ より、$c = -5 - \frac{4}{3} = -\frac{19}{3}$ です。

したがって、求める直線の方程式は $y = -\frac{2}{3}x - \frac{19}{3}$、または $2x + 3y + 19 = 0$ です。

3. 最終的な答え

(1)

平行な直線：①と⑥

垂直な直線：なし

(2)

平行な直線：④と②

垂直な直線：なし

(3) $2x - y - 4 = 0$

(4) $2x + 3y - 4 = 0$

(5) $3x + 2y - 7 = 0$

(6) $x - 2y - 12 = 0$

(7) $2x + 5y - 13 = 0$

(8) $2x + 3y + 19 = 0$