与えられた数式を簡略化すること。数式は $\sqrt{a^2b^{-1}c^3} \div \sqrt[3]{a^4b^2c}$ です。

1. 問題の内容

与えられた数式を簡略化すること。数式は $\sqrt{a^2b^{-1}c^3} \div \sqrt[3]{a^4b^2c}$ です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの根を指数形式に変換します。

$\sqrt{a^2b^{-1}c^3} = (a^2b^{-1}c^3)^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt[3]{a^4b^2c} = (a^4b^2c)^{\frac{1}{3}}$

次に、指数法則を用いて、それぞれの項を展開します。

$(a^2b^{-1}c^3)^{\frac{1}{2}} = a^{2 \cdot \frac{1}{2}}b^{-1 \cdot \frac{1}{2}}c^{3 \cdot \frac{1}{2}} = a^1b^{-\frac{1}{2}}c^{\frac{3}{2}}$

$(a^4b^2c)^{\frac{1}{3}} = a^{4 \cdot \frac{1}{3}}b^{2 \cdot \frac{1}{3}}c^{1 \cdot \frac{1}{3}} = a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{2}{3}}c^{\frac{1}{3}}$

次に、与えられた式を書き換えます。

$\frac{a^1b^{-\frac{1}{2}}c^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{2}{3}}c^{\frac{1}{3}}}$

次に、指数法則を用いて、分数を簡略化します。

$\frac{a^1}{a^{\frac{4}{3}}} = a^{1 - \frac{4}{3}} = a^{\frac{3}{3} - \frac{4}{3}} = a^{-\frac{1}{3}}$

$\frac{b^{-\frac{1}{2}}}{b^{\frac{2}{3}}} = b^{-\frac{1}{2} - \frac{2}{3}} = b^{-\frac{3}{6} - \frac{4}{6}} = b^{-\frac{7}{6}}$

$\frac{c^{\frac{3}{2}}}{c^{\frac{1}{3}}} = c^{\frac{3}{2} - \frac{1}{3}} = c^{\frac{9}{6} - \frac{2}{6}} = c^{\frac{7}{6}}$

したがって、簡略化された式は次のようになります。

$a^{-\frac{1}{3}}b^{-\frac{7}{6}}c^{\frac{7}{6}} = \frac{c^{\frac{7}{6}}}{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{7}{6}}}$

最後に、式を根号の形で表します。

$\frac{c^{\frac{7}{6}}}{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{7}{6}}} = \frac{c^{\frac{7}{6}}}{a^{\frac{2}{6}}b^{\frac{7}{6}}} = \frac{\sqrt[6]{c^7}}{\sqrt[6]{a^2b^7}} = \frac{c\sqrt[6]{c}}{\sqrt[6]{a^2b^7}} = \frac{c\sqrt[6]{c}}{b\sqrt[6]{a^2b}}$

3. 最終的な答え

$\frac{c\sqrt[6]{c}}{b\sqrt[6]{a^2b}}$