数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 1$ および $a_{k+1} = \frac{a_k}{2a_k + 1}$ (k=1, 2, 3, ...) で定義されるとき、$a_n = \frac{1}{2n-1}$ であることを数学的帰納法で証明する。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 1$ および $a_{k+1} = \frac{a_k}{2a_k + 1}$ (k=1, 2, 3, ...) で定義されるとき、$a_n = \frac{1}{2n-1}$ であることを数学的帰納法で証明する。

2. 解き方の手順

(1) n=1 のとき:

$a_1 = 1$ であり、$\frac{1}{2(1)-1} = \frac{1}{1} = 1$ であるから、$a_1 = \frac{1}{2(1)-1}$ が成り立つ。

(2) n=k のとき、$a_k = \frac{1}{2k-1}$ が成り立つと仮定する。

(3) n=k+1 のとき:

$a_{k+1} = \frac{a_k}{2a_k + 1}$ であり、$a_k = \frac{1}{2k-1}$ を代入すると、

$a_{k+1} = \frac{\frac{1}{2k-1}}{2 \cdot \frac{1}{2k-1} + 1} = \frac{\frac{1}{2k-1}}{\frac{2}{2k-1} + 1} = \frac{\frac{1}{2k-1}}{\frac{2 + (2k-1)}{2k-1}} = \frac{1}{2k+1}$

一方、$\frac{1}{2(k+1) - 1} = \frac{1}{2k+2-1} = \frac{1}{2k+1}$ であるから、$a_{k+1} = \frac{1}{2(k+1)-1}$ が成り立つ。

(4) したがって、数学的帰納法により、すべての自然数 n に対して、$a_n = \frac{1}{2n-1}$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

すべての自然数 n に対して、$a_n = \frac{1}{2n-1}$ である。