$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、$f(\theta) = \cos 2\theta - \sin \theta$ について、以下の問いに答える。 (1) 方程式 $2\sin \theta - 1 = 0$ を満たす$\theta$の値を求める。 (2) $\sin \theta = x$ とするとき、$f(\theta)$ を $x$ を用いて表す。 (3) 不等式 $f(\theta) \ge 0$ を満たす$\theta$の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、$f(\theta) = \cos 2\theta - \sin \theta$ について、以下の問いに答える。

(1) 方程式 $2\sin \theta - 1 = 0$ を満たす$\theta$の値を求める。

(2) $\sin \theta = x$ とするとき、$f(\theta)$ を $x$ を用いて表す。

(3) 不等式 $f(\theta) \ge 0$ を満たす$\theta$の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $2\sin \theta - 1 = 0$ を解く。

まず、$\sin \theta = \frac{1}{2}$ となる。$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で $\sin \theta = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ の値を求める。単位円を考えると、$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ である。

(2) $f(\theta)$ を $x$ で表す。

$f(\theta) = \cos 2\theta - \sin \theta$ であり、$\sin \theta = x$ を用いる。

$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ であるから、

$f(\theta) = 1 - 2\sin^2 \theta - \sin \theta$

$f(\theta) = 1 - 2x^2 - x$

したがって、$f(\theta) = -2x^2 - x + 1$ である。

(3) $f(\theta) \ge 0$ を満たす$\theta$の範囲を求める。

$f(\theta) = -2x^2 - x + 1 \ge 0$ を解く。

$-2x^2 - x + 1 \ge 0$

$2x^2 + x - 1 \le 0$

$(2x - 1)(x + 1) \le 0$

$-1 \le x \le \frac{1}{2}$

すなわち、$-1 \le \sin \theta \le \frac{1}{2}$ となる$\theta$の範囲を求める。

$\sin \theta = -1$ のとき $\theta = \frac{3\pi}{2}$

$\sin \theta = \frac{1}{2}$ のとき $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

$-1 \le \sin \theta \le \frac{1}{2}$ を満たす$\theta$の範囲は、

$0 \le \theta \le \frac{\pi}{6}$, $\frac{5\pi}{6} \le \theta \le \frac{3\pi}{2}$ , $\frac{3\pi}{2} \le \theta < 2\pi$

つまり、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{6}$, $\frac{5\pi}{6} \le \theta < 2\pi$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

(2) $f(\theta) = -2x^2 - x + 1$

(3) $0 \le \theta \le \frac{\pi}{6}$, $\frac{5\pi}{6} \le \theta < 2\pi$