係数が実数である3次式 $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + a$ について、以下の問いに答えます。 (1) $a=0, b=1$ のとき、方程式 $P(x) = 0$ を解きます。 (2) 方程式 $P(x) = 0$ が $1+i$ を解にもつとき、$a, b$ の値を求めます。 (3) (2) のとき、方程式 $P(x) = 0$ の $1+i$ 以外の解をすべて求めます。

はい、承知しました。問題文を読み解き、解答を作成します。

1. 問題の内容

係数が実数である3次式 $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + a$ について、以下の問いに答えます。

(1) $a=0, b=1$ のとき、方程式 $P(x) = 0$ を解きます。

(2) 方程式 $P(x) = 0$ が $1+i$ を解にもつとき、$a, b$ の値を求めます。

(3) (2) のとき、方程式 $P(x) = 0$ の $1+i$ 以外の解をすべて求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a = 0, b = 1$ のとき、$P(x) = x^3 + x + 0 = x^3 + x = x(x^2 + 1)$ となります。

したがって、$P(x) = 0$ は $x(x^2 + 1) = 0$ となり、$x = 0$ または $x^2 + 1 = 0$ です。

$x^2 + 1 = 0$ を解くと、$x^2 = -1$ より、$x = \pm i$ となります。

(2) $P(x) = 0$ が $1+i$ を解にもつとき、係数が実数であることから、$1-i$ も解にもちます。

したがって、$x = 1+i$ と $x = 1-i$ を解にもつ2次式は $(x - (1+i))(x - (1-i)) = (x-1-i)(x-1+i) = (x-1)^2 - i^2 = x^2 - 2x + 1 + 1 = x^2 - 2x + 2$ となります。

$P(x)$ は3次式なので、$P(x) = (x^2 - 2x + 2)(x + k)$ と表せます。

これを展開すると、$P(x) = x^3 + (k-2)x^2 + (2-2k)x + 2k$ となります。

$P(x) = x^3 + ax^2 + bx + a$ と比較すると、$a = k-2$、$b = 2-2k$、$a = 2k$ となります。

$a = k-2$ と $a = 2k$ より、$k-2 = 2k$ なので、$k = -2$ となります。

したがって、$a = 2k = -4$、$b = 2 - 2k = 2 - 2(-2) = 2 + 4 = 6$ となります。

(3) (2)より、$a = -4, b = 6, k = -2$ であり、$P(x) = (x^2 - 2x + 2)(x - 2) = 0$ です。

したがって、$x = 1+i, 1-i, 2$ が解となります。

$1+i$ 以外の解は $1-i$ と $2$ です。

3. 最終的な答え

(1) $x = 0, i, -i$

(2) $a = -4, b = 6$

(3) $x = 1-i, 2$