$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、$f(\theta) = \cos 2\theta - \sin \theta$ とする。 (1) 方程式 $2\sin\theta - 1 = 0$ を満たす $\theta$ の値を求める。 (2) $\sin \theta = x$ とするとき、$f(\theta)$ を $x$ を用いて表す。 (3) 不等式 $f(\theta) \ge 0$ を満たす $\theta$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、$f(\theta) = \cos 2\theta - \sin \theta$ とする。

(1) 方程式 $2\sin\theta - 1 = 0$ を満たす $\theta$ の値を求める。

(2) $\sin \theta = x$ とするとき、$f(\theta)$ を $x$ を用いて表す。

(3) 不等式 $f(\theta) \ge 0$ を満たす $\theta$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 方程式 $2\sin \theta - 1 = 0$ を解く。

$2\sin \theta = 1$ より、

$\sin \theta = \frac{1}{2}$

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、$\sin \theta = \frac{1}{2}$ を満たす $\theta$ は $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ である。

(2) $f(\theta) = \cos 2\theta - \sin \theta$ を $\sin \theta = x$ を用いて表す。

$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ より、

$f(\theta) = 1 - 2\sin^2 \theta - \sin \theta$

$\sin \theta = x$ を代入すると、

$f(\theta) = 1 - 2x^2 - x = -2x^2 - x + 1$

(3) 不等式 $f(\theta) \ge 0$ を満たす $\theta$ の値の範囲を求める。

$f(\theta) = -2x^2 - x + 1 \ge 0$

$2x^2 + x - 1 \le 0$

$(2x - 1)(x + 1) \le 0$

$-1 \le x \le \frac{1}{2}$

$-1 \le \sin \theta \le \frac{1}{2}$

$\sin \theta = -1$ のとき、$\theta = \frac{3\pi}{2}$

$\sin \theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

$-1 \le \sin \theta \le \frac{1}{2}$ を満たす $\theta$ の範囲は、$\theta$ は $\frac{7\pi}{6} \le \theta \le \frac{11\pi}{6}$ と $\theta = \frac{3\pi}{2}$ のとき、$\sin\theta = -1$

$0 \le \theta \le \frac{\pi}{6}$, $\frac{5\pi}{6} \le \theta \le 2\pi$ を満たすことである。

$\sin \theta \ge -1$ は常に成り立つので、$\sin \theta \le \frac{1}{2}$ だけ考えればよい。

$0 \le \theta \le \frac{\pi}{6}$ および $\frac{5\pi}{6} \le \theta < 2\pi$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

(2) $f(\theta) = -2x^2 - x + 1$

(3) $\frac{7\pi}{6} \le \theta \le \frac{11\pi}{6}$