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$x+y+z=4$、$xy+yz+zx=2$のとき、$x^2+y^2+z^2$の値を求めよ。

代数学多項式式の展開対称式
2025/6/8

1. 問題の内容

x+y+z=4x+y+z=4、xy+yz+zx=2xy+yz+zx=2のとき、x2+y2+z2x^2+y^2+z^2の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(x+y+z)2(x+y+z)^2を展開すると、
(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+yz+zx)
となることを利用します。
x+y+z=4x+y+z=4であるから、
(x+y+z)2=42=16(x+y+z)^2 = 4^2 = 16
xy+yz+zx=2xy+yz+zx=2であるから、
2(xy+yz+zx)=2×2=42(xy+yz+zx) = 2 \times 2 = 4
したがって、
x2+y2+z2=(x+y+z)2−2(xy+yz+zx)x^2+y^2+z^2 = (x+y+z)^2 - 2(xy+yz+zx)
x2+y2+z2=16−4x^2+y^2+z^2 = 16 - 4
x2+y2+z2=12x^2+y^2+z^2 = 12

3. 最終的な答え

x2+y2+z2=12x^2+y^2+z^2 = 12

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