次の方程式と不等式を解く問題です。 (1) $|x-1| = 2x$ (2) $|2x-4| \le x$ (3) $|x+1| + |x-3| = 6$ (4) $|2x+1| \le |2x-1|+x$

1. 問題の内容

次の方程式と不等式を解く問題です。

(1) $|x-1| = 2x$

(2) $|2x-4| \le x$

(3) $|x+1| + |x-3| = 6$

(4) $|2x+1| \le |2x-1|+x$

2. 解き方の手順

(1) $|x-1| = 2x$

場合分けを行います。

(i) $x \ge 1$ のとき、$x-1 = 2x$ より $x = -1$ となりますが、$x \ge 1$を満たさないため不適です。

(ii) $x < 1$ のとき、$-(x-1) = 2x$ より $-x+1=2x$ となり、$3x = 1$ より $x = \frac{1}{3}$ となります。これは$x < 1$を満たします。また、$2x \ge 0$より$x \ge 0$である必要があるので、$x=1/3$は条件を満たします。

(2) $|2x-4| \le x$

場合分けを行います。

(i) $2x-4 \ge 0$、つまり $x \ge 2$ のとき、$2x-4 \le x$ より $x \le 4$ となります。したがって、$2 \le x \le 4$ となります。

(ii) $2x-4 < 0$、つまり $x < 2$ のとき、$-(2x-4) \le x$ より $-2x+4 \le x$ となり、$3x \ge 4$ より $x \ge \frac{4}{3}$ となります。したがって、$\frac{4}{3} \le x < 2$ となります。

(i) と (ii) を合わせると、$\frac{4}{3} \le x \le 4$ となります。

(3) $|x+1| + |x-3| = 6$

場合分けを行います。

(i) $x \le -1$ のとき、$-(x+1) - (x-3) = 6$ より $-x-1-x+3 = 6$ となり、$-2x = 4$ より $x = -2$ となります。これは $x \le -1$ を満たします。

(ii) $-1 < x < 3$ のとき、$(x+1) - (x-3) = 6$ より $x+1-x+3 = 6$ となり、$4 = 6$ となり、解なしです。

(iii) $x \ge 3$ のとき、$(x+1) + (x-3) = 6$ より $2x - 2 = 6$ となり、$2x = 8$ より $x = 4$ となります。これは $x \ge 3$ を満たします。

したがって、$x = -2, 4$ となります。

(4) $|2x+1| \le |2x-1| + x$

場合分けを行います。

(i) $x \ge 1/2$ のとき、$2x+1 \le 2x-1 + x$ より $x \ge 2$ となります。したがって、$x \ge 2$ となります。

(ii) $-1/2 \le x < 1/2$ のとき、$2x+1 \le -(2x-1) + x$ より $2x+1 \le -2x+1+x$ となり、$3x \le 0$ より $x \le 0$ となります。したがって、$-\frac{1}{2} \le x \le 0$ となります。

(iii) $x < -1/2$ のとき、$-(2x+1) \le -(2x-1) + x$ より $-2x-1 \le -2x+1 + x$ となり、$x \ge -2$ となります。したがって、$-2 \le x < -1/2$ となります。

(i), (ii), (iii) を合わせると、$-2 \le x \le 0$ または $x \ge 2$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{1}{3}$

(2) $\frac{4}{3} \le x \le 4$

(3) $x = -2, 4$

(4) $-2 \le x \le 0$, $x \ge 2$