与えられた2つの式をそれぞれ簡単にします。 (1) $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$ (2) $\sqrt{28-12\sqrt{5}}$

1. 問題の内容

与えられた2つの式をそれぞれ簡単にします。

(1) $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$

(2) $\sqrt{28-12\sqrt{5}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$ の簡略化:

$\sqrt{7+4\sqrt{3}}$ を $\sqrt{(a+b)^2}$ の形に変形することを目指します。

まず、$4\sqrt{3}$ を $2\sqrt{12}$ と変形します。

次に、$7+2\sqrt{12}$ を $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a+b+2\sqrt{ab}$ の形と比較します。

$a+b=7$ かつ $ab=12$ となる $a, b$ を探します。

$a=4, b=3$ が条件を満たします。

したがって、

$\sqrt{7+4\sqrt{3}} = \sqrt{4+3+2\sqrt{4\times3}} = \sqrt{(\sqrt{4}+\sqrt{3})^2} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = 2+\sqrt{3}$

(2) $\sqrt{28-12\sqrt{5}}$ の簡略化:

$\sqrt{28-12\sqrt{5}}$ を $\sqrt{(a-b)^2}$ の形に変形することを目指します。

$12\sqrt{5}$ を $2\sqrt{180}$ と変形します。

次に、$28-2\sqrt{180}$ を $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 = a+b-2\sqrt{ab}$ の形と比較します。

$a+b=28$ かつ $ab=180$ となる $a, b$ を探します。

$a=18, b=10$ が条件を満たします。

したがって、

$\sqrt{28-12\sqrt{5}} = \sqrt{18+10-2\sqrt{18\times10}} = \sqrt{(\sqrt{18}-\sqrt{10})^2} = \sqrt{(3\sqrt{2}-\sqrt{10})^2}$

$= |3\sqrt{2}-\sqrt{10}| = \sqrt{10}-3\sqrt{2}$

あるいは、$28-12\sqrt{5}=28-2\sqrt{36 \cdot 5}=28-2\sqrt{180}=(18+10)-2\sqrt{18 \cdot 10}=(3\sqrt{2}-\sqrt{10})^2=(\sqrt{20}-\sqrt{8})^2$

$28-12\sqrt{5}=28-2\sqrt{180}=18+10-2\sqrt{18 \cdot 10}=(3\sqrt{2})^2+(\sqrt{10})^2-2(3\sqrt{2})(\sqrt{10})$

$28-12\sqrt{5}=(3\sqrt{2}-\sqrt{10})^2$.

$\sqrt{28-12\sqrt{5}}=\sqrt{(3\sqrt{2}-\sqrt{10})^2}=|3\sqrt{2}-\sqrt{10}|=\sqrt{10}-3\sqrt{2}$

$\sqrt{28-12\sqrt{5}}=\sqrt{28-2\sqrt{36\times5}}=\sqrt{28-2\sqrt{180}}$

求める形を$(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2=x+y-2\sqrt{xy}$とすると

$x+y=28$, $xy=180$より$x=10$, $y=18$

$(\sqrt{10}-\sqrt{18})^2=10+18-2\sqrt{180}=28-12\sqrt{5}$

$\sqrt{( \sqrt{10}-\sqrt{18} )^2}=|\sqrt{10}-3\sqrt{2}|=3\sqrt{2}-\sqrt{10}$は負の値なので$\sqrt{10} - 3\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $2+\sqrt{3}$

(2) $\sqrt{10}-3\sqrt{2}$