与えられた連立一次方程式を解き、解をベクトル和の形で表現します。問題は3つあります。 (1) $\begin{cases} x+y+z+w=1 \\ x+z-w=2 \end{cases}$ (2) $\begin{cases} x+y-z=1 \\ 2x+3y-4z=5 \\ x+y=3 \end{cases}$ (3) $x+y-z=2$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を解き、解をベクトル和の形で表現します。問題は3つあります。

(1) $\begin{cases} x+y+z+w=1 \\ x+z-w=2 \end{cases}$

(2) $\begin{cases} x+y-z=1 \\ 2x+3y-4z=5 \\ x+y=3 \end{cases}$

(3) $x+y-z=2$

2. 解き方の手順

(1)

まず、変数の数を減らすことを考えます。

第一式から第二式を引くと、

$x+y+z+w - (x+z-w) = 1-2$

$y+2w = -1$

よって、$y = -1-2w$ となります。

第二式から $x = 2 - z + w$ となります。

$z$ と $w$ は自由変数なので、$z=s$, $w=t$ とおくと、

$x = 2 - s + t$

$y = -1 - 2t$

$z = s$

$w = t$

解ベクトルは、

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-s+t \\ -1-2t \\ s \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

(2)

第一式と第三式から $z = 2$ が得られます。

これを第二式に代入すると、$2x+3y-8 = 5$ より $2x+3y = 13$ となります。

第三式から $x = 3-y$ が得られます。

$2(3-y)+3y = 13$

$6-2y+3y = 13$

$y = 7$

よって、$x = 3-7 = -4$

解ベクトルは、

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix}$

(3)

$x+y-z = 2$

$x = 2 - y + z$

$y$ と $z$ は自由変数なので、$y=s$, $z=t$ とおくと、

$x = 2 - s + t$

$y = s$

$z = t$

解ベクトルは、

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-s+t \\ s \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$