与えられた式を計算し、可能な限り簡単にしてください。与えられた式は $\frac{1}{2}n(n+1) \left\{ \frac{1}{2}n(n+1) + 1 \right\}$ です。

1. 問題の内容

与えられた式を計算し、可能な限り簡単にしてください。与えられた式は

$\frac{1}{2}n(n+1) \left\{ \frac{1}{2}n(n+1) + 1 \right\}$

です。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{2}n(n+1)$ を $x$ とおくと、与えられた式は

$x(x+1)$

と表されます。これを展開すると

$x^2 + x$

となります。ここで、$x$ を元の式に戻すと、

$\left( \frac{1}{2}n(n+1) \right)^2 + \frac{1}{2}n(n+1)$

となります。これをさらに展開します。

$\left( \frac{1}{2}n(n+1) \right)^2 = \frac{1}{4} n^2 (n+1)^2 = \frac{1}{4}n^2(n^2+2n+1) = \frac{1}{4}(n^4 + 2n^3 + n^2)$

$\frac{1}{2}n(n+1) = \frac{1}{2}(n^2 + n)$

したがって、

$\frac{1}{4}(n^4 + 2n^3 + n^2) + \frac{1}{2}(n^2 + n) = \frac{1}{4}(n^4 + 2n^3 + n^2 + 2n^2 + 2n) = \frac{1}{4}(n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n)$

$\frac{1}{4}n(n+1)(n^2+n+2)$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}(n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n)$

または

$\frac{n(n+1)(n^2+n+2)}{4}$