不等式 $x^2 + xy + y^2 \geq 0$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つ場合を調べる。

1. 問題の内容

不等式 $x^2 + xy + y^2 \geq 0$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つ場合を調べる。

2. 解き方の手順

与えられた不等式の左辺を平方完成することを試みます。

$x$ について平方完成します。

$x^2 + xy + y^2 = x^2 + xy + \frac{y^2}{4} - \frac{y^2}{4} + y^2$

$= (x + \frac{y}{2})^2 + \frac{3}{4}y^2$

$(x + \frac{y}{2})^2$ は実数の二乗なので、常に0以上です。

$\frac{3}{4}y^2$ も実数の二乗に正の係数がかかっているので、常に0以上です。

したがって、

$(x + \frac{y}{2})^2 + \frac{3}{4}y^2 \geq 0$

が成り立ちます。

等号が成り立つのは、

$x + \frac{y}{2} = 0$ かつ $y = 0$ のときです。

$y = 0$ を $x + \frac{y}{2} = 0$ に代入すると、$x = 0$ となります。

したがって、$x = 0$ かつ $y = 0$ のとき等号が成り立ちます。

3. 最終的な答え

不等式 $x^2 + xy + y^2 \geq 0$ は成り立つ。等号が成り立つのは $x = 0$ かつ $y = 0$ のとき。