$a<0$ を満たす定数とする。 (1) 関数 $y = ax + b$ ($2 \leq x \leq 4$) の値域を $a, b$ を用いて表せ。 (2) 関数 $y = ax + b$ ($2 \leq x \leq 4$) の値域が $1 \leq y \leq 5$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a<0$ を満たす定数とする。

(1) 関数 $y = ax + b$ ($2 \leq x \leq 4$) の値域を $a, b$ を用いて表せ。

(2) 関数 $y = ax + b$ ($2 \leq x \leq 4$) の値域が $1 \leq y \leq 5$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$a < 0$ なので、関数 $y = ax + b$ は減少関数である。

したがって、$x=2$ のとき最大値、$x=4$ のとき最小値をとる。

$x=2$ のとき、$y = 2a + b$

$x=4$ のとき、$y = 4a + b$

よって、値域は $4a+b \leq y \leq 2a+b$ となる。

(2)

(1)より、$y = ax+b$ の値域は $4a+b \leq y \leq 2a+b$ である。

この値域が $1 \leq y \leq 5$ であることから、

$4a + b = 1$

$2a + b = 5$

という連立方程式が得られる。

2つの式を引き算すると、

$(2a+b) - (4a+b) = 5 - 1$

$-2a = 4$

$a = -2$

これを $2a + b = 5$ に代入すると、

$2(-2) + b = 5$

$-4 + b = 5$

$b = 9$

したがって、$a = -2, b = 9$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $4a+b \leq y \leq 2a+b$

(2) $a = -2$, $b = 9$