与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ について、以下の問いに答える。 (1) 平面 $R^2$ 上の点 $(x, y)$ を縦ベクトル $\mathbf{a}$ で表したとき、$\mathbf{a}' = A\mathbf{a}$ はどのような変換（点の移動）を起こすか。 (2) $A$ の起こす変換の様子から、$A$ が逆行列を持たないことを示せ。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ について、以下の問いに答える。

(1) 平面 $R^2$ 上の点 $(x, y)$ を縦ベクトル $\mathbf{a}$ で表したとき、$\mathbf{a}' = A\mathbf{a}$ はどのような変換（点の移動）を起こすか。

(2) $A$ の起こす変換の様子から、$A$ が逆行列を持たないことを示せ。

2. 解き方の手順

(1) 点 $(x, y)$ を縦ベクトル $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ で表す。$\mathbf{a}' = A\mathbf{a}$ を計算し、変換後の点の座標を求める。

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\mathbf{a}' = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix}

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この結果から、変換後の点の座標は $(x, 0)$ であることがわかる。したがって、変換は、$y$ 座標を 0 にする射影である。

(2) 行列 $A$ による変換によって、平面上のすべての点は $x$ 軸上に写像される。つまり、変換後の点の集合は 1 次元空間（$x$ 軸）に縮退する。もし $A$ が逆行列を持つならば、この変換は可逆であり、縮退した空間から元の平面に戻すことができるはずである。しかし、1 次元空間から 2 次元空間への可逆な変換は存在しないため、$A$ は逆行列を持たない。

3. 最終的な答え

(1) $\mathbf{a}' = A\mathbf{a}$ は、点 $(x, y)$ を $x$ 軸上に射影する変換（すなわち、$(x, y)$ を $(x, 0)$ に写す変換）である。

(2) $A$ の起こす変換は $R^2$ 上の点を $x$軸に射影する写像であり、これにより全ての点が $x$軸上に潰れてしまう。この変換は可逆ではないので、$A$ は逆行列を持たない。