1から100までの整数のうち、以下の条件を満たす数はそれぞれ何個あるか。 (1) 8の倍数 (2) 12の倍数 (3) 8で割り切れない数 (4) 8の倍数であるが、12の倍数でない数 (5) 8でも12でも割り切れない数 (6) 8で割り切れない、または12で割り切れない数

1. 問題の内容

1から100までの整数のうち、以下の条件を満たす数はそれぞれ何個あるか。

(1) 8の倍数

(2) 12の倍数

(3) 8で割り切れない数

(4) 8の倍数であるが、12の倍数でない数

(5) 8でも12でも割り切れない数

(6) 8で割り切れない、または12で割り切れない数

2. 解き方の手順

(1) 8の倍数の個数：100を8で割った商を求める。

$100 \div 8 = 12.5$

したがって、8の倍数は12個。

(2) 12の倍数の個数：100を12で割った商を求める。

$100 \div 12 = 8.333...$

したがって、12の倍数は8個。

(3) 8で割り切れない数：1から100までの整数の個数から8の倍数の個数を引く。

$100 - 12 = 88$

したがって、8で割り切れない数は88個。

(4) 8の倍数であるが、12の倍数でない数：

8の倍数の個数から、8の倍数かつ12の倍数である数の個数を引く。

8と12の最小公倍数は24である。

100を24で割った商を求める。

$100 \div 24 = 4.166...$

したがって、24の倍数は4個。

求める個数は、$12 - 4 = 8$

したがって、8の倍数であるが12の倍数でない数は8個。

(5) 8でも12でも割り切れない数：

全体から、8の倍数または12の倍数である数の個数を引く。

8の倍数の個数は12個、12の倍数の個数は8個。

8と12の最小公倍数は24なので、24の倍数の個数は4個。

8の倍数または12の倍数の個数は、$12 + 8 - 4 = 16$個。

したがって、8でも12でも割り切れない数は、$100 - 16 = 84$個。

(6) 8で割り切れない、または12で割り切れない数：

全体から、8でも12でも割り切れる数の個数を引く。（ド・モルガンの法則）

8と12の最小公倍数は24である。

24の倍数は、$100 \div 24 = 4.166...$より4個。

8で割り切れない、または12で割り切れない数は、$100 - 4 = 96$個。

別の解き方：

8で割り切れない数の個数は88個。

12で割り切れない数の個数は$100 - 8 = 92$個。

8で割り切れないかつ12で割り切れない数の個数は84個。

8で割り切れない、または12で割り切れない数の個数は、$88 + 92 - 84 = 96$個。

3. 最終的な答え

(1) 12個

(2) 8個

(3) 88個

(4) 8個

(5) 84個

(6) 96個