大人3人と子ども5人が1列に並ぶときの並び方の総数を、次の条件ごとに求めます。 (1) 大人3人が続いて並ぶ。 (2) 両端が子どもである。 (3) 少なくとも一端に大人がくる。 (4) 大人3人が続いて並び、子ども5人も続いて並ぶ。 (5) どの大人も隣り合わない。

1. 問題の内容

大人3人と子ども5人が1列に並ぶときの並び方の総数を、次の条件ごとに求めます。

(1) 大人3人が続いて並ぶ。

(2) 両端が子どもである。

(3) 少なくとも一端に大人がくる。

(4) 大人3人が続いて並び、子ども5人も続いて並ぶ。

(5) どの大人も隣り合わない。

2. 解き方の手順

(1) 大人3人を1つのグループとして考えます。すると、1つの大人グループと5人の子ども、合計6つのものを並べることになります。6つのものの並べ方は $6!$ 通りです。さらに、大人3人の中での並び方が $3!$ 通りあります。したがって、求める並び方は $6! \times 3!$ 通りです。

(2) 両端に子どもが来るように並べます。まず、両端に並ぶ子どもの選び方は $5 \times 4$ 通りです。残りの6人（大人3人と子ども3人）の並べ方は $6!$ 通りです。したがって、求める並び方は $5 \times 4 \times 6!$ 通りです。

(3) 「少なくとも一端に大人がくる」の余事象は「両端が子どもである」です。全体の並び方は $8!$ 通りです。(2)より両端が子どもである並び方は$5 \times 4 \times 6!$通りなので求める並び方は$8! - 5 \times 4 \times 6!$通りです。

(4) 大人3人を1つのグループ、子ども5人を1つのグループとして考えます。2つのグループの並べ方は $2!$ 通りです。大人3人の中での並び方が $3!$ 通り、子ども5人の中での並び方が $5!$ 通りです。したがって、求める並び方は $2! \times 3! \times 5!$ 通りです。

(5) まず、子ども5人を1列に並べます。並べ方は $5!$ 通りです。

子ども5人の間とその両端の6か所のうち3か所を選び、そこに大人を1人ずつ配置します。場所の選び方は ${}_6 P_3$ 通りです。

したがって、求める並び方は $5! \times {}_6 P_3 = 5! \times 6 \times 5 \times 4$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) $6! \times 3! = 720 \times 6 = 4320$ 通り

(2) $5 \times 4 \times 6! = 20 \times 720 = 14400$ 通り

(3) $8! - 5 \times 4 \times 6! = 40320 - 14400 = 25920$ 通り

(4) $2! \times 3! \times 5! = 2 \times 6 \times 120 = 1440$ 通り

(5) $5! \times {}_6 P_3 = 120 \times 6 \times 5 \times 4 = 120 \times 120 = 14400$ 通り