(1) $M, N$ は共に2桁の自然数で、$M > N$、差が36、最大公約数が9であるような、$M, N$ の組をすべて求める。 (2) $M, N$ は自然数で、$M > N$、和が21、最小公倍数が36であるような、$M, N$ の組を求める。

1. 問題の内容

(1) $M, N$ は共に2桁の自然数で、$M > N$、差が36、最大公約数が9であるような、$M, N$ の組をすべて求める。

(2) $M, N$ は自然数で、$M > N$、和が21、最小公倍数が36であるような、$M, N$ の組を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$M$ と $N$ の最大公約数が9なので、$M = 9a$, $N = 9b$ ($a > b$, $a, b$ は互いに素な自然数)と表せる。

$M - N = 36$ なので、

$9a - 9b = 36$

$9(a-b) = 36$

$a - b = 4$

$M, N$ は2桁の自然数なので、$10 \le 9a \le 99$ かつ $10 \le 9b \le 99$。

したがって、$\frac{10}{9} \le a \le 11$ かつ $\frac{10}{9} \le b \le 11$。つまり、$2 \le a \le 11$ かつ $2 \le b \le 11$。

$a - b = 4$ を満たす組み合わせは、

$(a, b) = (5, 1), (6, 2), (7, 3), (8, 4), (9, 5), (10, 6), (11, 7)$

ここで、$a, b$ は互いに素でなければならないので、

$(a, b) = (5, 1), (7, 3), (9, 5), (11, 7)$

よって、

$(M, N) = (9 \times 5, 9 \times 1) = (45, 9)$, これは$N$が2桁の条件を満たさない。

$(M, N) = (9 \times 7, 9 \times 3) = (63, 27)$

$(M, N) = (9 \times 9, 9 \times 5) = (81, 45)$

$(M, N) = (9 \times 11, 9 \times 7) = (99, 63)$

(2)

$M + N = 21$, $LCM(M, N) = 36$

$M = 21 - N$

$LCM(21-N, N) = 36$

$M, N$ は自然数なので、$M > N$ より $21-N > N$, つまり、$2N < 21$ なので $N \le 10$。

$N = 1, 2, \dots, 10$ で計算してみる。

$N=1$ のとき $M = 20$、$LCM(20, 1) = 20$ (不適)

$N=2$ のとき $M = 19$、$LCM(19, 2) = 38$ (不適)

$N=3$ のとき $M = 18$、$LCM(18, 3) = 18$ (不適)

$N=4$ のとき $M = 17$、$LCM(17, 4) = 68$ (不適)

$N=5$ のとき $M = 16$、$LCM(16, 5) = 80$ (不適)

$N=6$ のとき $M = 15$、$LCM(15, 6) = 30$ (不適)

$N=7$ のとき $M = 14$、$LCM(14, 7) = 14$ (不適)

$N=8$ のとき $M = 13$、$LCM(13, 8) = 104$ (不適)

$N=9$ のとき $M = 12$、$LCM(12, 9) = 36$ (適)

$N=10$ のとき $M = 11$、$LCM(11, 10) = 110$ (不適)

3. 最終的な答え

(1) $(M, N) = (63, 27), (81, 45), (99, 63)$

(2) $(M, N) = (12, 9)$