女子5人と男子3人が1列に並ぶときの並び方の数を、以下の条件でそれぞれ求める問題です。 (1) 女子5人が続いて並ぶ (2) 女子5人と男子3人がそれぞれ続いて並ぶ (3) 両端が男子である (4) どの男子も隣り合わない

1. 問題の内容

女子5人と男子3人が1列に並ぶときの並び方の数を、以下の条件でそれぞれ求める問題です。

(1) 女子5人が続いて並ぶ

(2) 女子5人と男子3人がそれぞれ続いて並ぶ

(3) 両端が男子である

(4) どの男子も隣り合わない

2. 解き方の手順

(1) 女子5人が続いて並ぶ場合：

まず、女子5人を1つのグループとして考えます。すると、並び方は女子グループと男子3人の合計4つの要素の並び替えになるので、$4!$ 通りあります。

さらに、女子グループ内での5人の並び替えが $5!$ 通りあります。

したがって、全体の並び方は $4! \times 5!$ 通りです。

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

$4! \times 5! = 24 \times 120 = 2880$

(2) 女子5人と男子3人がそれぞれ続いて並ぶ場合：

女子5人と男子3人の2つのグループの並び替えなので、$2!$ 通りです。

女子5人の並び替えが $5!$ 通り、男子3人の並び替えが $3!$ 通りです。

したがって、全体の並び方は $2! \times 5! \times 3!$ 通りです。

$2! = 2 \times 1 = 2$

$5! = 120$

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

$2! \times 5! \times 3! = 2 \times 120 \times 6 = 1440$

(3) 両端が男子である場合：

まず、両端に男子を並べる方法を考えます。3人の男子から2人を選んで並べるので、$3P2 = 3 \times 2 = 6$ 通りです。

残りの6人の並び替えは $6!$ 通りです。

したがって、全体の並び方は $3P2 \times 6!$ 通りです。

$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$

$3P2 \times 6! = 6 \times 720 = 4320$

(4) どの男子も隣り合わない場合：

まず、女子5人を並べます。その並べ方は $5!$ 通りです。

次に、女子5人の間にできる6つの隙間（両端を含む）から3つを選んで男子を並べます。これは $6P3$ 通りです。

したがって、全体の並び方は $5! \times 6P3$ 通りです。

$5! = 120$

$6P3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$

$5! \times 6P3 = 120 \times 120 = 14400$

3. 最終的な答え

(1) 2880通り

(2) 1440通り

(3) 4320通り

(4) 14400通り