美術部、書道部、合唱部の部員がそれぞれ3人ずつ、合計9人いる。この9人を2人、3人、4人の3つのグループに分ける。 (3) 2人のグループに1つの部の部員だけが入るような分け方は全部で何通りあるか。また、どのグループにも2つ以上の部の部員が入るような分け方は全部で何通りあるか。

## 問題の解答

1. 問題の内容

美術部、書道部、合唱部の部員がそれぞれ3人ずつ、合計9人いる。この9人を2人、3人、4人の3つのグループに分ける。

(3) 2人のグループに1つの部の部員だけが入るような分け方は全部で何通りあるか。また、どのグループにも2つ以上の部の部員が入るような分け方は全部で何通りあるか。

2. 解き方の手順

まず、2人のグループに1つの部の部員だけが入る場合を考える。

どの部の部員を2人のグループに入れるかを選ぶ方法は3通りある。

選ばれた部から2人を選ぶ方法は $_3C_2 = 3$ 通りある。

残りの7人から3人のグループを作る方法は $_7C_3 = 35$ 通りある。

残りの4人は自動的に4人のグループになるので、分け方は1通り。

よって、2人のグループに1つの部の部員だけが入る分け方は $3 \times 3 \times 35 = 315$ 通り。

次に、どのグループにも2つ以上の部の部員が入る場合を考える。

まずは、すべての分け方の総数を求める。

9人から2人、3人、4人のグループを作る分け方は、

$\frac{9!}{2!3!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{2 \times 6} = 9 \times 4 \times 7 \times 5 = 1260$ 通り。

ただし、美術部、書道部、合唱部は区別しないので、

2人、3人、4人のグループの人数は固定なので、グループを区別しない場合の計算は不要。

次に、少なくとも1つのグループに1つの部の部員しか入らない場合を考える。

(1) 2人のグループに1つの部の部員しか入らない場合: 先ほど求めたように315通り

(2) 3人のグループに1つの部の部員しか入らない場合:

どの部の部員を3人のグループに入れるかを選ぶ方法は3通り。

選ばれた部から3人を選ぶ方法は $_3C_3 = 1$ 通り。

残りの6人から2人のグループを作る方法は $_6C_2 = 15$ 通り。

残りの4人は自動的に4人のグループになるので、分け方は1通り。

よって、3人のグループに1つの部の部員だけが入る分け方は $3 \times 1 \times 15 = 45$ 通り。

(3) 4人のグループに1つの部の部員しか入らない場合:

どの部の部員を4人のグループに入れるかを選ぶ方法は0通り (3人しかいないため)

次に、2つのグループに1つの部の部員しか入らない場合を考える。これは不可能。

したがって、少なくとも1つのグループに1つの部の部員しか入らない場合の数は、315 + 45 = 360 通り。

求めるのは、どのグループにも2つ以上の部の部員が入る分け方なので、

全体の分け方から少なくとも1つのグループに1つの部の部員しか入らない場合を引く。

$1260 - 360 = 900$

3. 最終的な答え

2人のグループに1つの部の部員だけが入る分け方は315通り。

どのグループにも2つ以上の部の部員が入る分け方は900通り。