問題3: (5) 12人の生徒を4人ずつA, B, Cの3組に組分けする方法の総数を求める。 (6) 10人の生徒を4人、3人、3人の3組に組分けする方法の総数を求める。 (7) 7人の生徒を2組に組分けする方法の総数を求める。 問題4: (8) "beehive"の7文字を一列に並べる場合の総数を求める。 (9) "beehive"の7文字を一列に並べる際、3つの'e'が隣り合わないような並べ方の総数を求める。

はい、承知いたしました。OCRの結果に基づき、問題3の(5), (6), (7)と問題4の(8), (9)を解きます。

1. 問題の内容

問題3:

(5) 12人の生徒を4人ずつA, B, Cの3組に組分けする方法の総数を求める。

(6) 10人の生徒を4人、3人、3人の3組に組分けする方法の総数を求める。

(7) 7人の生徒を2組に組分けする方法の総数を求める。

問題4:

(8) "beehive"の7文字を一列に並べる場合の総数を求める。

(9) "beehive"の7文字を一列に並べる際、3つの'e'が隣り合わないような並べ方の総数を求める。

2. 解き方の手順

問題3:

(5) 12人の生徒を4人ずつA, B, Cの3組に組分けする。

まず12人からA組の4人を選ぶ組み合わせは ${}_{12}C_4$ 通り。

次に残りの8人からB組の4人を選ぶ組み合わせは ${}_{8}C_4$ 通り。

最後に残った4人がC組になる。

ただし、A, B, Cの区別があるので、

${}_{12}C_4 \times {}_{8}C_4 = \frac{12!}{4!8!} \times \frac{8!}{4!4!} = \frac{12!}{4!4!4!}$

計算すると、

$\frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{(4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (4 \times 3 \times 2 \times 1)} = 495 \times 70 = 34650$

(6) 10人の生徒を4人、3人、3人の3組に組分けする。

まず10人から4人を選ぶ組み合わせは ${}_{10}C_4$ 通り。

次に残りの6人から3人を選ぶ組み合わせは ${}_{6}C_3$ 通り。

最後に残った3人が3組目になる。

ただし、3人の組が2つあるため、2!で割る必要がある。

${}_{10}C_4 \times {}_{6}C_3 \div 2! = \frac{10!}{4!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{1}{2} = \frac{10!}{4!3!3!2!}$

計算すると、

$\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{(4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1) \times 2} = 210 \times 20 \times \frac{1}{2}=2100$

(7) 7人の生徒を2組に組分けする。ただし、各組に最低1人は所属するものとする。

これは7人の中から1人以上6人以下のグループを選ぶことと同じなので、グループ分けの人数を考慮すると、

${}_{7}C_1 + {}_{7}C_2 + {}_{7}C_3 + {}_{7}C_4 + {}_{7}C_5 + {}_{7}C_6 = 2^7-2 = 128-2=126$

しかし、2組に分けることに区別がないので、さらに2で割る必要がある。

したがって、$\frac{126}{2} = 63$ 通り。

問題4:

(8) "beehive"の7文字を一列に並べる。eが3つあるので、同じものを含む順列となる。

したがって、$\frac{7!}{3!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$ 通り。

(9) 3つの'e'が隣り合わないような並べ方。

まず、e以外の4文字(b, h, i, v)を並べる。これは 4! = 24 通り。

例えば、_ b _ h _ i _ v _ のように並ぶ。

この5つの隙間に3つのeを入れる。これは ${}_5C_3$ 通り。

${}_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

よって、4! × ${}_5C_3$ = 24 × 10 = 240 通り。

3. 最終的な答え

問題3:

(5) 34650通り

(6) 2100通り

(7) 63通り

問題4:

(8) 840通り

(9) 240通り