図のような道路がある町で、P地点からQ地点まで最短距離で移動する場合を考える。 (1) R地点を通って行く場合の経路の総数を求める。 (2) X印の箇所を通らないで行く場合の経路の総数を求める。 (3) R地点を通り、X印の箇所を通らないで行く場合の経路の総数を求める。

## 回答

1. 問題の内容

図のような道路がある町で、P地点からQ地点まで最短距離で移動する場合を考える。

(1) R地点を通って行く場合の経路の総数を求める。

(2) X印の箇所を通らないで行く場合の経路の総数を求める。

(3) R地点を通り、X印の箇所を通らないで行く場合の経路の総数を求める。

2. 解き方の手順

(1) R地点を通る場合

PからRまでの最短経路の数と、RからQまでの最短経路の数をそれぞれ計算し、それらを掛け合わせる。

PからRへは右に2回、上に2回移動する必要がある。したがって、経路数は $\frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り。

RからQへは右に5回、下に3回移動する必要がある。したがって、経路数は $\frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ 通り。

よって、Rを通る経路の総数は $6 \times 56 = 336$ 通り。

(2) X印の箇所を通らない場合

まず、PからQまでの全ての経路数を求める。PからQへは右に7回、下に5回移動する必要がある。したがって、経路数は $\frac{12!}{7!5!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 792$ 通り。

次に、X印の箇所を通る経路数を求める。

PからX印の箇所へは右に3回、上に3回移動する必要がある。経路数は $\frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ 通り。

X印の箇所からQへは右に4回、下に2回移動する必要がある。経路数は $\frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通り。

したがって、X印の箇所を通る経路の総数は $20 \times 15 = 300$ 通り。

X印の箇所を通らない経路数は、全ての経路数からX印の箇所を通る経路数を引いたものである。よって、 $792 - 300 = 492$ 通り。

(3) R地点を通り、X印の箇所を通らない場合

R地点を通り、X印の箇所を通る経路の数を求める。

PからRへは6通りであった。RからX印の箇所へは右に1回、下に1回移動する必要があるので、経路数は $\frac{2!}{1!1!} = 2$通り。X印の箇所からQへは15通りであった。

したがって、R地点を通り、X印の箇所を通る経路の総数は $6 \times 2 \times 15 = 180$ 通り。

R地点を通る経路の総数は336通りであったので、R地点を通り、X印の箇所を通らない経路の総数は $336 - 180 = 156$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) R地点を通る経路の総数: 336 通り

(2) X印の箇所を通らない経路の総数: 492 通り

(3) R地点を通り、X印の箇所を通らない経路の総数: 156 通り