与えられた6つの集合の要素を、重複なくすべて答える問題です。ただし、$\mathbb{Z}_{\ge 0}$ は非負の整数全体の集合を意味します。

1. 問題の内容

与えられた6つの集合の要素を、重複なくすべて答える問題です。ただし、$\mathbb{Z}_{\ge 0}$ は非負の整数全体の集合を意味します。

2. 解き方の手順

(1) $\{x \in \mathbb{Z} \mid 1 \le x \le 3, 2 \le x \le 4\}$

$1 \le x \le 3$ を満たす整数は $x = 1, 2, 3$ です。

$2 \le x \le 4$ を満たす整数は $x = 2, 3, 4$ です。

両方を満たす整数は $x = 2, 3$ です。

(2) $\{x \in \mathbb{Z} \mid 1 \le x \le 2, 3 \le x \le 4\}$

$1 \le x \le 2$ を満たす整数は $x = 1, 2$ です。

$3 \le x \le 4$ を満たす整数は $x = 3, 4$ です。

両方を満たす整数は存在しません。

(3) $\{(x, y) \in \mathbb{Z}^2 \mid 1 \le x \le 2, 3 \le y \le 4\}$

$1 \le x \le 2$ を満たす整数は $x = 1, 2$ です。

$3 \le y \le 4$ を満たす整数は $y = 3, 4$ です。

したがって、要素は $(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)$ です。

(4) $\{(x, y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_{\ge 0} \mid x^2 + y^2 = 25\}$

$x^2 + y^2 = 25$ を満たす整数の組 $(x, y)$ を求めます。ただし、$y \ge 0$ です。

$x = 0$ のとき $y^2 = 25$ なので $y = 5$

$x = \pm 3$ のとき $y^2 = 25 - 9 = 16$ なので $y = 4$

$x = \pm 4$ のとき $y^2 = 25 - 16 = 9$ なので $y = 3$

$x = \pm 5$ のとき $y^2 = 25 - 25 = 0$ なので $y = 0$

したがって、要素は $(0, 5), (3, 4), (-3, 4), (4, 3), (-4, 3), (5, 0), (-5, 0)$ です。

(5) $\{x^2 \mid x \in \mathbb{Z}, |x| \le 2\}$

$|x| \le 2$ を満たす整数は $x = -2, -1, 0, 1, 2$ です。

したがって、$x^2$ は $4, 1, 0, 1, 4$ なので、要素は $0, 1, 4$ です。

(6) $\{\frac{1}{x} \mid x \in \mathbb{Z}, |x| \le 2\}$

$|x| \le 2$ を満たす整数は $x = -2, -1, 0, 1, 2$ です。

$x = 0$ のとき $\frac{1}{x}$ は定義されません。

$x = -2$ のとき $\frac{1}{x} = -\frac{1}{2}$

$x = -1$ のとき $\frac{1}{x} = -1$

$x = 1$ のとき $\frac{1}{x} = 1$

$x = 2$ のとき $\frac{1}{x} = \frac{1}{2}$

したがって、要素は $-\frac{1}{2}, -1, 1, \frac{1}{2}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\{2, 3\}$

(2) $\emptyset$ （または「元はない」）

(3) $\{(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)\}$

(4) $\{(0, 5), (3, 4), (-3, 4), (4, 3), (-4, 3), (5, 0), (-5, 0)\}$

(5) $\{0, 1, 4\}$

(6) $\{-1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1\}$