図のような道のある町で、PからQまで遠回りをせずに進む場合の道順の総数を求める問題です。 (1) Rを通って行く場合 (2) ×印の箇所を通らないで行く場合 (3) Rを通り、×印の箇所を通らないで行く場合 の3つの場合について、道順の総数を求めます。

1. 問題の内容

図のような道のある町で、PからQまで遠回りをせずに進む場合の道順の総数を求める問題です。

(1) Rを通って行く場合

(2) ×印の箇所を通らないで行く場合

(3) Rを通り、×印の箇所を通らないで行く場合

の3つの場合について、道順の総数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) Rを通って行く場合

PからRまでの最短経路の数と、RからQまでの最短経路の数をそれぞれ計算し、それらを掛け合わせます。

PからRへは、右に2回、上に2回移動する必要があります。したがって、PからRへの最短経路の数は、

$\frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

RからQへは、右に5回、上に3回移動する必要があります。したがって、RからQへの最短経路の数は、

$\frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

したがって、Rを通って行く場合の総数は、$6 \times 56 = 336$通りです。

(2) ×印の箇所を通らないで行く場合

PからQまでのすべての経路から、×印の箇所を通る経路の数を引きます。

PからQまでのすべての経路は、右に6回、上に5回移動する必要があります。したがって、PからQまでの最短経路の総数は、

$\frac{11!}{6!5!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 462$

Pから×印を通ってQへ行く経路の数を求めます。Pから×印へは、右に3回、上に2回移動する必要があります。したがって、Pから×印への最短経路の数は、

$\frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

×印からQへは、右に3回、上に3回移動する必要があります。したがって、×印からQへの最短経路の数は、

$\frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

したがって、×印を通って行く場合の総数は、$10 \times 20 = 200$通りです。

×印の箇所を通らないで行く場合の総数は、$462 - 200 = 262$通りです。

(3) Rを通り、×印の箇所を通らないで行く場合

Rを通る経路から、Rと×印の両方を通る経路の数を引きます。

Rを通る経路は(1)より$6 \times 56 = 336$通りです。

PからRへは$6$通り、Rから×印へは、右に1回、上に1回移動する必要があるので$2$通りです。×印からQへは$20$通りなので、Rと×印の両方を通る経路は$6 \times 2 \times 20 = 240$通りです。

Rを通り、×印の箇所を通らないで行く場合の総数は、$336 - 240 = 96$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 336通り

(2) 262通り

(3) 96通り