6種類の色を使って、図形の各部分を全て異なる色で塗り分ける場合の数を求める問題です。ただし、回転して同じになる場合は、同じ塗り方とみなします。問題は３つあります。 (1) 三角形を横に区切った図形（5つの部分） (2) 長方形を区切った図形（4つの部分） (3) 正六角形を放射状に区切った図形（6つの部分）

1. 問題の内容

6種類の色を使って、図形の各部分を全て異なる色で塗り分ける場合の数を求める問題です。ただし、回転して同じになる場合は、同じ塗り方とみなします。問題は３つあります。

(1) 三角形を横に区切った図形（5つの部分）

(2) 長方形を区切った図形（4つの部分）

(3) 正六角形を放射状に区切った図形（6つの部分）

2. 解き方の手順

(1)

塗り分けられる部分は5つあります。

1つ目の部分の塗り方は6通り、

2つ目の部分の塗り方は残りの5通り、

3つ目の部分の塗り方は残りの4通り、

4つ目の部分の塗り方は残りの3通り、

5つ目の部分の塗り方は残りの2通りです。

したがって、塗り方の総数は $6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 720$通りです。

回転して同じになる塗り方は存在しないので、これが答えです。

(2)

塗り分けられる部分は4つあります。

1つ目の部分の塗り方は6通り、

2つ目の部分の塗り方は残りの5通り、

3つ目の部分の塗り方は残りの4通り、

4つ目の部分の塗り方は残りの3通りです。

したがって、塗り方の総数は $6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$通りです。

回転して同じになる塗り方は存在しないので、これが答えです。

(3)

塗り分けられる部分は6つあります。

1つ目の部分の塗り方は6通り、

2つ目の部分の塗り方は残りの5通り、

3つ目の部分の塗り方は残りの4通り、

4つ目の部分の塗り方は残りの3通り、

5つ目の部分の塗り方は残りの2通り、

6つ目の部分の塗り方は残りの1通りです。

したがって、塗り方の総数は $6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$通りです。

正六角形なので、6回回転させると元に戻ります。

しかし、各部分の色が全て異なるので、回転させて同じになる塗り方は6通りではありません。

回転して同じになることを考慮する必要があります。

円順列の考え方を用いると、塗り方の総数は $(6-1)! = 5! = 120$通りになりますが、この場合、中心の色が決まっているため、円順列の考え方は適用できません。

正六角形は、回転させることによって同じになる塗り方が6通りずつ存在するので、総数を6で割る必要があります。ただし、これは誤りです。

正六角形を回転させても同じにならない塗り方も存在します。

この場合は、回転対称性を持つ図形のため、回転させて同じになるものを除外する必要があります。

しかし、今回は各部分の色が全て異なるため、回転させて同じになる塗り方は存在しません。

したがって、塗り方の総数は $6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$通りです。

このうち、回転して同じになるものを除く必要がありますが、今回は回転して同じになるものはないので、720通りが答えとなります。

3. 最終的な答え

(1) 720通り

(2) 360通り

(3) 720通り