全体集合 $U$ を10以下の自然数全体の集合とする。集合 $A = \{2, 3, 4, 5, 8\}$ と集合 $B = \{1, 2, 5, 7\}$ が与えられたとき、以下の集合を求める問題です。 (1) $A \cap B$ (AとBの共通部分) (2) $A \cup B$ (AとBの和集合) (3) $\overline{A} \cap \overline{B}$ (Aの補集合とBの補集合の共通部分) (4) $\overline{A \cup B}$ (AとBの和集合の補集合)

1. 問題の内容

全体集合 $U$ を10以下の自然数全体の集合とする。集合 $A = \{2, 3, 4, 5, 8\}$ と集合 $B = \{1, 2, 5, 7\}$ が与えられたとき、以下の集合を求める問題です。

(1) $A \cap B$ (AとBの共通部分)

(2) $A \cup B$ (AとBの和集合)

(3) $\overline{A} \cap \overline{B}$ (Aの補集合とBの補集合の共通部分)

(4) $\overline{A \cup B}$ (AとBの和集合の補集合)

2. 解き方の手順

まず、全体集合 $U$ を求めます。$U$ は10以下の自然数なので、$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ です。

(1) $A \cap B$ を求めます。$A \cap B$ は $A$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合です。$A$ と $B$ の要素を見比べて、両方に含まれる要素は2と5なので、$A \cap B = \{2, 5\}$ です。

(2) $A \cup B$ を求めます。$A \cup B$ は $A$ または $B$ に含まれる要素の集合です。$A$ と $B$ の要素をすべて集めて、$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 8\}$ です。

(3) $\overline{A} \cap \overline{B}$ を求めます。まず、$\overline{A}$ を求めます。$\overline{A}$ は $U$ の要素のうち $A$ に含まれない要素の集合です。$U$ と $A$ を見比べて、$\overline{A} = \{1, 6, 7, 9, 10\}$ です。次に、$\overline{B}$ を求めます。$\overline{B}$ は $U$ の要素のうち $B$ に含まれない要素の集合です。$U$ と $B$ を見比べて、$\overline{B} = \{3, 4, 6, 8, 9, 10\}$ です。$\overline{A} \cap \overline{B}$ は $\overline{A}$ と $\overline{B}$ の両方に含まれる要素の集合です。$\overline{A}$ と $\overline{B}$ の要素を見比べて、両方に含まれる要素は6, 9, 10なので、$\overline{A} \cap \overline{B} = \{6, 9, 10\}$ です。

(4) $\overline{A \cup B}$ を求めます。$\overline{A \cup B}$ は $U$ の要素のうち $A \cup B$ に含まれない要素の集合です。$U$ と $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 8\}$ を見比べて、$A \cup B$ に含まれない要素は6, 9, 10なので、$\overline{A \cup B} = \{6, 9, 10\}$ です。

注: ド・モルガンの法則より、$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ なので、(3)と(4)の結果は一致するはずです。

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B = \{2, 5\}$

(2) $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 8\}$

(3) $\overline{A} \cap \overline{B} = \{6, 9, 10\}$

(4) $\overline{A \cup B} = \{6, 9, 10\}$