(1) 大人4人と子供4人が輪になって並ぶとき、大人と子供が交互に並ぶ並び方の数を求める。 (2) 3つの文字の集合 $U = \{a, b, c\}$ の部分集合の総数を求める。 (3) 8人を2つの組A, Bに分ける方法の数を求める。ただし、A, Bそれぞれに1人以上が含まれるとする。 (4) 1, 2, 3, 4 の4つの数字を一列に並べるとき、1が1番目、2が2番目、3が3番目、4が4番目に並ばない並べ方の総数を求める。

1. 問題の内容

(1) 大人4人と子供4人が輪になって並ぶとき、大人と子供が交互に並ぶ並び方の数を求める。

(2) 3つの文字の集合 $U = \{a, b, c\}$ の部分集合の総数を求める。

(3) 8人を2つの組A, Bに分ける方法の数を求める。ただし、A, Bそれぞれに1人以上が含まれるとする。

(4) 1, 2, 3, 4 の4つの数字を一列に並べるとき、1が1番目、2が2番目、3が3番目、4が4番目に並ばない並べ方の総数を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、大人が輪になって並ぶ並び方を考える。これは $(4-1)! = 3! = 6$ 通り。次に、大人の間に子供が並ぶことになるので、子供の並び方は $4! = 24$ 通り。したがって、全体の並び方は $6 \times 24 = 144$ 通り。

(2) 集合 $U = \{a, b, c\}$ の部分集合の総数は、$2^3 = 8$。これは、各要素が部分集合に含まれるか含まれないかの2通りの選択肢があるため。

(3) 8人を2つの組A, Bに分ける。各人はAかBのどちらかの組に属するので、$2^8 = 256$ 通りの分け方がある。ただし、Aに誰もいない場合とBに誰もいない場合を除く必要があるので、$256 - 2 = 254$ 通り。さらに、AとBの区別がない場合は、これを2で割る必要があるが、問題文ではAとBは区別されているので、割る必要はない。

(4) 1, 2, 3, 4 の4つの数字を並べる並び方の総数は $4! = 24$通り。

包除原理を用いる。

$A_i$ を $i$ が $i$ 番目に並ぶ並べ方の集合とする。

$|A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4|$ を求める。

$|A_i| = 3! = 6$

$|A_i \cap A_j| = 2! = 2$ ($i \ne j$)

$|A_i \cap A_j \cap A_k| = 1! = 1$ ($i \ne j \ne k$)

$|A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4| = 1$

したがって、

$|A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4| = \binom{4}{1} 3! - \binom{4}{2} 2! + \binom{4}{3} 1! - \binom{4}{4} 0! = 4 \times 6 - 6 \times 2 + 4 \times 1 - 1 = 24 - 12 + 4 - 1 = 15$

求める並べ方は、全体から条件を満たさないものを引けば良いので $4! - |A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4| = 24 - 15 = 9$通り。

3. 最終的な答え

(1) 144通り

(2) 8

(3) 254通り

(4) 9通り