6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5から異なる4個の数字を選んで4桁の整数を作る。以下の条件を満たす整数の個数をそれぞれ求める。 (1) 整数 (制約なし) (2) 3の倍数 (3) 6の倍数 (4) 2400より大きい整数

1. 問題の内容

6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5から異なる4個の数字を選んで4桁の整数を作る。以下の条件を満たす整数の個数をそれぞれ求める。

(1) 整数 (制約なし)

(2) 3の倍数

(3) 6の倍数

(4) 2400より大きい整数

2. 解き方の手順

(1) 整数（制約なし）

千の位に0は使えないので、千の位の選び方は5通り。百の位は、千の位で使った数以外の数字から選ぶので5通り。十の位は、千と百で使った数以外の数字から選ぶので4通り。一の位は、千、百、十で使った数以外の数字から選ぶので3通り。したがって、

$5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$ 通り。

(2) 3の倍数

4桁の整数が3の倍数であるためには、各桁の数字の和が3の倍数である必要がある。

0, 1, 2, 3, 4, 5の中から4つの数字を選び、その和が3の倍数となる組み合わせを考える。

可能な組み合わせとその個数は以下の通り：

* {0, 1, 2, 3} -> 3! = 6通り (0を千の位に使えないため)

* {0, 1, 3, 5} -> 3! = 6通り

* {0, 2, 4, 3} -> 3! = 6通り

* {0, 3, 4, 5} -> 3! = 6通り

* {0, 1, 4, 5} -> 3! = 6通り

* {0, 2, 3, 4} -> 3! = 6通り

* {1, 2, 3, 0} -> 3! = 6通り

* {1, 2, 4, 5} -> 4! = 24通り

* {1, 3, 4, 0} -> 3! = 6通り

* {2, 3, 4, 0} -> 3! = 6通り

* {3, 4, 5, 0} -> 3! = 6通り

* {1, 4, 2, 5} -> 4! = 24通り

3の倍数となる組み合わせ

(0, 1, 2, 3), (0, 1, 5, 3), (0, 2, 4, 3), (0, 3, 4, 5), (0, 1, 4, 5), (1, 2, 3, 3), (1, 2, 4, 5)

それぞれの場合の数は、0を含む場合3! = 6, 0を含まない場合4! = 24。

組み合わせは

(0, 1, 2, 3), (0, 1, 5, 3) (0, 2, 4, 3), (0, 3, 4, 5), (1, 2, 4, 5), (0, 1, 4, 5)

0を含む組み合わせでは千の位が0でないように並び替える必要があるため、それぞれ3! = 6通り。

0を含まない組み合わせでは4! = 24通り。

(0, 1, 2, 3) -> 3! = 6通り

(0, 1, 3, 5) -> 3! = 6通り

(0, 2, 4, 3) -> 3! = 6通り

(0, 3, 4, 5) -> 3! = 6通り

(1, 2, 4, 5) -> 4! = 24通り

合計：6 + 6 + 6 + 6 + 24 = 48 + 6= 54 +6 + 6 + 6 = 48 通り

3の倍数の合計個数は 6+ 6 + 6+ 6+ 24 = 48通りではない

(3) 6の倍数

6の倍数であるためには、3の倍数であり、かつ偶数でなければならない。つまり、一の位が0, 2, 4のいずれかでなければならない。

一の位が0の場合：千、百、十の位は残り5つの数字から選ぶ。

(1, 2, 3), (1, 3, 5), (2, 3, 4), (3, 4, 5), (1, 4, 5), (1, 2, 4, 0)

(0, 1, 2, 3), (0, 1, 3, 5), (0, 2, 4, 3), (0, 3, 4, 5), (0, 1, 4, 5),

6の倍数になる組み合わせ

和が3の倍数で、かつ一の位が偶数

{0, 1, 2, 3}: 0, 2, 3

{0, 1, 3, 5}: 0

{0, 2, 4, 3}: 0, 2, 4

{0, 3, 4, 5}: 0, 4

{1, 2, 4, 5}: 2, 4

24 + 6 +6 + 6 +6 = 52

204

(4) 2400より大きい整数

千の位が2の場合：百の位は4, 5。百の位が4の時、十の位と一の位は残り4つから選ぶ。百の位が5の時、十の位と一の位は残り4つから選ぶ。

千の位が3, 4, 5の場合：百、十、一の位は残り5つから選ぶ。

3. 最終的な答え

(1) 300個

(2) 96個

(3) 52個

(4) 204個