2種類の記号（○と●）をいくつか1列に並べて記号を作る。 (1) 並べる記号が全部で4個のとき、何通りの記号ができるか。 (2) 並べる記号が1個以上4個以下のとき、何通りの記号ができるか。 (3) 100通りの記号を作るためには、○と●を最小限何個まで並べる必要があるか。

1. 問題の内容

2種類の記号（○と●）をいくつか1列に並べて記号を作る。

(1) 並べる記号が全部で4個のとき、何通りの記号ができるか。

(2) 並べる記号が1個以上4個以下のとき、何通りの記号ができるか。

(3) 100通りの記号を作るためには、○と●を最小限何個まで並べる必要があるか。

2. 解き方の手順

(1) 4個の記号を並べる場合、各位置に○か●の2通りが考えられるので、全部で$2^4$通りの記号ができる。

(2) 1個以上4個以下の記号を並べる場合、1個、2個、3個、4個のそれぞれの個数でできる記号の数を足し合わせる。

1個の場合：$2^1 = 2$通り

2個の場合：$2^2 = 4$通り

3個の場合：$2^3 = 8$通り

4個の場合：$2^4 = 16$通り

したがって、合計は$2 + 4 + 8 + 16$通りとなる。

(3) n個まで並べたときにできる記号の数を考える。

1個の場合：$2^1 = 2$通り

2個の場合：$2^2 = 4$通り

3個の場合：$2^3 = 8$通り

...

n個の場合：$2^n$通り

合計は$2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^n$通りとなる。

これは等比数列の和なので、

$\sum_{k=1}^{n} 2^k = \frac{2(2^n - 1)}{2 - 1} = 2^{n+1} - 2$

この値が100を超える最小のnを求める。

$2^{n+1} - 2 > 100$

$2^{n+1} > 102$

$n+1 > \log_2{102}$

$\log_2{102}$は6と7の間なので、$n+1=7$となり、$n=6$。

3. 最終的な答え

(1) 16通り

(2) 30通り

(3) 6個