問題は、次の6つの問題から構成されています。 (1) $arcsin(\frac{1}{2})$と$arctan(-\sqrt{3})$の値を求める。 (2) $cos(arcsin(u)) = \sqrt{1-u^2}$を示す。 (3) $\lim_{x\to 1}(x^2+3) = 4$が成り立つことを、極限値の基本性質（和と積）を用いて説明する。 (4) $x \to \infty$のとき、$y = e^x, y = x^3, y = x, y = \sqrt{x}, y = log x$ の増大度の大きい順に並べる。 (5) $f(x)=x^2$に対して、$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$とし、$f'(x)=\frac{df}{dx}$の定義式を$\Delta x$, $\Delta f$を用いて書き、$f'(x)=2x$となることを示す。 (6) $\lim_{x\to 1} \frac{x^2-1}{x+2}$を計算し、$f(x)=x^2 (x\ge 0)$, $g(x)=\sqrt{x}$が互いに逆関数であることを示す。

1. 問題の内容

問題は、次の6つの問題から構成されています。

(1) $arcsin(\frac{1}{2})$と$arctan(-\sqrt{3})$の値を求める。

(2) $cos(arcsin(u)) = \sqrt{1-u^2}$を示す。

(3) $\lim_{x\to 1}(x^2+3) = 4$が成り立つことを、極限値の基本性質（和と積）を用いて説明する。

(4) $x \to \infty$のとき、$y = e^x, y = x^3, y = x, y = \sqrt{x}, y = log x$ の増大度の大きい順に並べる。

(5) $f(x)=x^2$に対して、$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$とし、$f'(x)=\frac{df}{dx}$の定義式を$\Delta x$, $\Delta f$を用いて書き、$f'(x)=2x$となることを示す。

(6) $\lim_{x\to 1} \frac{x^2-1}{x+2}$を計算し、$f(x)=x^2 (x\ge 0)$, $g(x)=\sqrt{x}$が互いに逆関数であることを示す。

2. 解き方の手順

(1)

$arcsin(\frac{1}{2})$の値は、$\sin(\theta) = \frac{1}{2}$となる$\theta$を求めることで得られます。これは$\theta = \frac{\pi}{6}$です。

$arctan(-\sqrt{3})$の値は、$\tan(\theta) = -\sqrt{3}$となる$\theta$を求めることで得られます。これは$\theta = -\frac{\pi}{3}$です。

(2)

$arcsin(u)=\theta$とおくと、$sin(\theta)=u$となります。

単位円を考えると、$cos^2(\theta) + sin^2(\theta) = 1$なので、$cos^2(\theta) = 1 - sin^2(\theta) = 1 - u^2$

したがって、$cos(\theta) = \pm \sqrt{1 - u^2}$。$arcsin$の定義域は$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$なので、$cos(arcsin(u)) = cos(\theta) \ge 0$、よって$cos(arcsin(u)) = \sqrt{1 - u^2}$

(3)

$\lim_{x\to 1}(x^2+3) = \lim_{x\to 1}x^2 + \lim_{x\to 1}3$（和の性質）

$= (\lim_{x\to 1}x)(\lim_{x\to 1}x) + \lim_{x\to 1}3$ （積の性質）

$= 1 \cdot 1 + 3 = 1+3 = 4$

(4)

$x \to \infty$ のとき、増大度の大きい順に並べると、$y=e^x, y=x^3, y=x, y=\sqrt{x}, y=log x$

(5)

(1) $\frac{df}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

(2) $f(x) = x^2$なので、$\Delta f = (x+\Delta x)^2 - x^2 = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 - x^2 = 2x\Delta x + (\Delta x)^2$

$\frac{df}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x) = 2x$

(6)

(1) $\lim_{x\to 1} \frac{x^2-1}{x+2} = \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x+2} = \frac{(1-1)(1+1)}{1+2} = \frac{0}{3} = 0$

(2) $f(g(x)) = f(\sqrt{x}) = (\sqrt{x})^2 = x$ $(x\ge 0)$

$g(f(x)) = g(x^2) = \sqrt{x^2} = |x| = x$ $(x\ge 0)$

よって、$f(x)$と$g(x)$は互いに逆関数である。

3. 最終的な答え

(1) $arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$, $arctan(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$

(2) $cos(arcsin(u)) = \sqrt{1 - u^2}$

(3) $\lim_{x\to 1}(x^2+3) = 4$

(4) $y=e^x, y=x^3, y=x, y=\sqrt{x}, y=log x$

(5) (1) $\frac{df}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$ (2) $\frac{df}{dx} = 2x$

(6) (1) $\lim_{x\to 1} \frac{x^2-1}{x+2} = 0$ (2) $f(x)$と$g(x)$は互いに逆関数である。