直角三角形ABCにおいて、∠A = 90°, AD⊥BC, ∠ACE = ∠ECB, AD = 8, AC = 10とする。 (1) FDの長さを求めよ。 (2) AEの長さを求めよ。 (3) 面積比 △EBC : △AFCを求めよ。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、∠A = 90°, AD⊥BC, ∠ACE = ∠ECB, AD = 8, AC = 10とする。

(1) FDの長さを求めよ。

(2) AEの長さを求めよ。

(3) 面積比 △EBC : △AFCを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) FDの長さを求める。

まず、CDの長さを求めます。△ADCは直角三角形なので、ピタゴラスの定理より、$AD^2 + CD^2 = AC^2$ です。

$8^2 + CD^2 = 10^2$

$64 + CD^2 = 100$

$CD^2 = 36$

$CD = 6$

次に、△ADCと△FDCについて考えます。∠ACE = ∠ECBなので、∠FCD=∠ECB。また∠ADC=∠FDC=90°。従って、２つの角が等しいので△FDC∽△ABCではないかと考えられます。

$AD \perp BC$ なので、△ADCは直角三角形。

∠ACE = ∠ECBより、CEは∠ACBの二等分線。角の二等分線の性質より、$AC:CD = AE:DE$

$10:6=AE:DE$

$5:3=AE:DE$

$AE = \frac{5}{3}DE$

△AFDと△ABCが相似であることを利用してFDの長さを求めます。 △ADCにおいて，$AC=10, AD=8, CD=6$。

$BC = \frac{AC^2}{CD} = \frac{10^2}{6}=\frac{100}{6}=\frac{50}{3}$

$BD = BC - CD = \frac{50}{3} - 6 = \frac{50}{3} - \frac{18}{3} = \frac{32}{3}$

△ABDにおいて、$AB^2 = BD^2 + AD^2$

$AB^2 = (\frac{32}{3})^2 + 8^2 = \frac{1024}{9} + 64 = \frac{1024+576}{9} = \frac{1600}{9}$

$AB = \sqrt{\frac{1600}{9}} = \frac{40}{3}$

$\frac{FD}{AB} = \frac{CD}{BC}$となるので

$FD = AB \cdot \frac{CD}{BC} = \frac{40}{3} \cdot \frac{6}{\frac{50}{3}} = \frac{40}{3} \cdot \frac{18}{50} = \frac{40}{1} \cdot \frac{6}{50} = \frac{240}{50} = \frac{24}{5}$

(2) AEの長さを求める。

△ABCと△DBAは相似である。

△ABDにおいて、$AD=8, BD = \frac{32}{3}, AB = \frac{40}{3}$

$AE = AB - BE = \frac{40}{3} - BE$

ECは∠ACBの二等分線。

$AE:BE = AC:BC$

$AE = \frac{AC}{BC} BE = \frac{10}{\frac{50}{3}}BE = \frac{30}{50}BE = \frac{3}{5}BE$

$AE+BE = AB$

$\frac{3}{5}BE+BE=AB = \frac{40}{3}$

$\frac{8}{5}BE=\frac{40}{3}$

$BE = \frac{40}{3} \cdot \frac{5}{8} = \frac{200}{24} = \frac{25}{3}$

$AE = AB - BE = \frac{40}{3} - \frac{25}{3} = \frac{15}{3} = 5$

(3) 面積比 △EBC : △AFCを求めよ。

$\frac{△EBC}{△ABC} = \frac{BE}{BA} = \frac{\frac{25}{3}}{\frac{40}{3}} = \frac{25}{40} = \frac{5}{8}$

$\frac{△AFC}{△ABC} = \frac{CF}{CB} = \frac{CD-FD}{CD} = \frac{6-\frac{24}{5}}{6} = \frac{\frac{30-24}{5}}{6} = \frac{\frac{6}{5}}{6} = \frac{1}{5}$

$△EBC : △AFC = \frac{5}{8}:\frac{1}{5} = \frac{25}{40}:\frac{8}{40} = 25:8$

3. 最終的な答え

(1) FDの長さ: $\frac{24}{5}$

(2) AEの長さ: $5$

(3) 面積比 △EBC : △AFC: $25:8$