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直角三角形ABCにおいて、以下のベクトルの内積を求めます。 (1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ (2) $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}$ (3) $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BA}$

幾何学ベクトル内積直角三角形三角比
2025/6/9

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、以下のベクトルの内積を求めます。
(1) AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}
(2) BA→⋅BC→\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}
(3) AC→⋅BA→\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BA}

2. 解き方の手順

内積の定義：a→⋅b→=∣a→∣∣b→∣cos⁡θ\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \cos{\theta}, ただしθ\thetaはベクトルa→\overrightarrow{a}とb→\overrightarrow{b}のなす角。
(1) AB→⋅AC→=∣AB→∣∣AC→∣cos⁡∠BAC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \cos{\angle BAC}
問題の図から、∣AB→∣=23|\overrightarrow{AB}| = 2\sqrt{3}, ∣AC→∣=4|\overrightarrow{AC}| = 4, ∠BAC=30∘\angle BAC = 30^\circ。
cos⁡30∘=32\cos{30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}
AB→⋅AC→=(23)(4)(32)=8⋅3/2=12\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (2\sqrt{3}) (4) (\frac{\sqrt{3}}{2}) = 8 \cdot 3 / 2 = 12
(2) BA→⋅BC→=∣BA→∣∣BC→∣cos⁡∠ABC\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{BA}| |\overrightarrow{BC}| \cos{\angle ABC}
∣BA→∣=23|\overrightarrow{BA}| = 2\sqrt{3}, ∣BC→∣=2|\overrightarrow{BC}| = 2, ∠ABC=90∘\angle ABC = 90^\circ。
cos⁡90∘=0\cos{90^\circ} = 0
BA→⋅BC→=(23)(2)(0)=0\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (2\sqrt{3}) (2) (0) = 0
(3) AC→⋅BA→=∣AC→∣∣BA→∣cos⁡∠CAB\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BA} = |\overrightarrow{AC}| |\overrightarrow{BA}| \cos{\angle CAB}
∣AC→∣=4|\overrightarrow{AC}| = 4, ∣BA→∣=23|\overrightarrow{BA}| = 2\sqrt{3}
AC→\overrightarrow{AC}とBA→\overrightarrow{BA}のなす角は、180∘−30∘=150∘180^\circ - 30^\circ = 150^\circである。
cos⁡150∘=−32\cos{150^\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}
AC→⋅BA→=(4)(23)(−32)=83(−32)=−4⋅3=−12\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BA} = (4)(2\sqrt{3})(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 8\sqrt{3}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -4 \cdot 3 = -12
または、
AC→⋅BA→=AC→⋅(−AB→)=−AC→⋅AB→=−AB→⋅AC→=−12\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AC} \cdot (-\overrightarrow{AB}) = - \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} = - \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -12

3. 最終的な答え

(1) AB→⋅AC→=12\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 12
(2) BA→⋅BC→=0\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 0
(3) AC→⋅BA→=−12\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BA} = -12

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