問題1： 原点O、点P(3,2)、点Q(2,1)が与えられたとき、ベクトルOPとベクトルOQの内積と、線分OPとOQでできる平行四辺形の面積を求めます。 問題2： 原点O、点P(3,2)、点R(2,1)が与えられたとき、点Pを通りベクトルORと直交する直線の式を $y = ax + b$ の形で表し、$a$と$b$の値を求めます。

1. 問題の内容

問題1：

原点O、点P(3,2)、点Q(2,1)が与えられたとき、ベクトルOPとベクトルOQの内積と、線分OPとOQでできる平行四辺形の面積を求めます。

問題2：

原点O、点P(3,2)、点R(2,1)が与えられたとき、点Pを通りベクトルORと直交する直線の式を $y = ax + b$ の形で表し、$a$と$b$の値を求めます。

2. 解き方の手順

問題1：

(1) ベクトルOPとベクトルOQの内積を計算します。

ベクトルOP = (3, 2), ベクトルOQ = (2, 1)なので、内積は

$OP \cdot OQ = (3)(2) + (2)(1) = 6 + 2 = 8$

(2) 線分OPとOQでできる平行四辺形の面積は、ベクトルOPとベクトルOQで構成される行列式の絶対値で求められます。

面積 = $|(3)(1) - (2)(2)| = |3 - 4| = |-1| = 1$

問題2：

点P(3,2)を通り、ベクトルOR(2,1)に直交する直線の式を求めます。

ベクトルORに直交するベクトルは、例えば(-1, 2)です。

したがって、求める直線は方向ベクトル(-1, 2)を持ちます。

直線の式は、傾きが $m = -\frac{1}{2}$ であることから、$y = ax + b$ の形において、$a = -\frac{2}{1} = -2$となります。

点P(3,2)を通るので、$2 = -2(3) + b$。

$2 = -6 + b$

$b = 8$

したがって、求める直線の式は $y = -\frac{2}{1} x + 8$

$OR$ の傾きは $1/2$ なので、直交する直線の傾きは $-2$ 。

求める直線は、$y = -2x + b$。

この直線が点(3, 2)を通るので、 $2 = -2(3) + b$

$2 = -6 + b$

$b = 8$

したがって、求める直線の式は $y = -2x + 8$

3. 最終的な答え

問題1：

(1) ベクトルOPとOQの内積: 8

(2) 平行四辺形の面積: 1

問題2：

$a = -2$

$b = 8$