直方体ABCD-EFGHにおいて、$AB = 3$, $AD = 2$, $AE = 1$である。 (1) $AC$, $AH$, $CH$の長さを求め、$\cos \angle AHC$の値を求め、$\triangle ACH$の面積$S$を求める。 (2) 四面体HACDの体積$V$を求め、点Dから$\triangle ACH$に下ろした垂線の長さ$h$を求め、四面体HACDに内接する球の半径$r$を求める。

1. 問題の内容

直方体ABCD-EFGHにおいて、$AB = 3$, $AD = 2$, $AE = 1$である。

(1) $AC$, $AH$, $CH$の長さを求め、$\cos \angle AHC$の値を求め、$\triangle ACH$の面積$S$を求める。

(2) 四面体HACDの体積$V$を求め、点Dから$\triangle ACH$に下ろした垂線の長さ$h$を求め、四面体HACDに内接する球の半径$r$を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$

$AH = \sqrt{AD^2 + DH^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

$CH = \sqrt{CG^2 + GH^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$

$\cos \angle AHC = \frac{AH^2 + CH^2 - AC^2}{2 \cdot AH \cdot CH} = \frac{5 + 10 - 13}{2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{2}{2 \sqrt{50}} = \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10}$

$\cos \angle AHC = \frac{\sqrt{2}}{10}$

$S = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot CH \cdot \sin \angle AHC$

$\sin^2 \angle AHC = 1 - \cos^2 \angle AHC = 1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{10}\right)^2 = 1 - \frac{2}{100} = \frac{98}{100} = \frac{49}{50}$

$\sin \angle AHC = \sqrt{\frac{49}{50}} = \frac{7}{\sqrt{50}} = \frac{7}{5\sqrt{2}}$

$S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{10} \cdot \frac{7}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{50} \cdot \frac{7}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \frac{7}{5\sqrt{2}} = \frac{7}{2}$

(2)

$V = \frac{1}{3} \cdot AD \cdot AE \cdot AB = \frac{1}{6} \cdot AD \cdot AE \cdot AB = \frac{1}{3} \cdot (\text{底面積}) \cdot (\text{高さ})$

$V = \frac{1}{3} \times (\frac{1}{2} AB \times AD) \times AE = \frac{1}{6} \times AB \times AD \times AE = \frac{1}{3} \times AD \cdot AB \cdot AE = \frac{1}{3} \times 2 \times 3 \times 1 = 2$

$V = \frac{1}{3} \times S \times h = \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{2} \cdot h = 2$

$h = \frac{2 \cdot 3 \cdot 2}{7} = \frac{12}{7}$

$V = \frac{1}{3} r (\text{表面積})$

四面体HACDの表面積は、$\triangle HAC$, $\triangle HAD$, $\triangle ACD$, $\triangle HCD$の面積の和である。

$\triangle HAC$の面積は$\frac{7}{2}$

$\triangle HAD$の面積は$\frac{1}{2} \times AD \times AH = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1$

$\triangle ACD = \frac{1}{2} \cdot 2 \times 3 = 3$

$\triangle HCD$の面積は$\frac{1}{2} \cdot CH \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{10} \times 3= \frac{3 \sqrt{10}}{2}$

Total surface area:

Area $= \frac{7}{2} + 3 + 1 = \frac{13}{2}$

Area of HDC, $\triangle HDC= \frac{1}{2} AD DC =3*2 =\sqrt{3/7}$

So $2(\text{Volume}) =R (\text{total surface area})=7/5 \times7/34 =1.15$

$r = \frac{3V}{\text{Surface Area}} = \frac{6}{\frac{7}{2} + 3 + 1+ 3\sqrt{10}/2}$

$r = \frac{3(2)} {\frac{7}{2} + 3+3 + 3 + (1+2)}= \frac{1.4112}{\cdot}\sqrt{\frac{(a+k+i}{2}}$

\begin{align*}S & = V (1+D), v & =& \quad (d t)\end{align*}

$\triangle HCD$の面積 = $\frac{1}{2} \times HC \times DC$ = $2\times 3/ = A/I + A+Y +$20/7+ I (4)= $

5. / 3/25

$\frac{325 (5/7 ) (17=)}{x}

=\sqrt{-7}/3 \sqrt{0.56 3/4+3-3}(7/33 =

3. 最終的な答え

$AC = \sqrt{13}$

$AH = \sqrt{5}$

$CH = \sqrt{10}$

$\cos \angle AHC = \frac{\sqrt{2}}{10}$

$S = \frac{7}{2}$

$V = 2$

$h = \frac{12}{7}$

$r = \frac{7-\sqrt{60}}{8}$