## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

問題14: 点 $(-1, -2)$ と直線 $2x - 3y - 9 = 0$ との距離を求める。

問題15: 3点 $A(2, 2, 0)$, $B(2, -3, \sqrt{5})$, $C(1, -1, 0)$ について、$\angle ACB = \theta$ とする。

(1) $\overrightarrow{CA}$, $\overrightarrow{CB}$ を成分で表す。

(2) $\theta$ の値を求める。

(3) $\triangle ABC$ の面積を求める。

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2. 解き方の手順

### 問題14

点と直線の距離の公式を使う。点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

で与えられる。

この問題では、$(x_0, y_0) = (-1, -2)$ であり、$a = 2$, $b = -3$, $c = -9$ である。

したがって、

$d = \frac{|2(-1) - 3(-2) - 9|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{|-2 + 6 - 9|}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{|-5|}{\sqrt{13}} = \frac{5}{\sqrt{13}}$

分母を有理化すると、

$d = \frac{5\sqrt{13}}{13}$

### 問題15 (1)

$\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} = (2, 2, 0) - (1, -1, 0) = (1, 3, 0)$

$\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = (2, -3, \sqrt{5}) - (1, -1, 0) = (1, -2, \sqrt{5})$

### 問題15 (2)

$\angle ACB = \theta$ なので、

$\cos\theta = \frac{\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{CB}|}$

$\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = (1)(1) + (3)(-2) + (0)(\sqrt{5}) = 1 - 6 + 0 = -5$

$|\overrightarrow{CA}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 9 + 0} = \sqrt{10}$

$|\overrightarrow{CB}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{1 + 4 + 5} = \sqrt{10}$

$\cos\theta = \frac{-5}{\sqrt{10}\sqrt{10}} = \frac{-5}{10} = -\frac{1}{2}$

よって、$\theta = \frac{2\pi}{3}$ または $120^{\circ}$.

### 問題15 (3)

$\triangle ABC$ の面積 $S$ は、

$S = \frac{1}{2}|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{CB}|\sin\theta$

$\sin\theta = \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S = \frac{1}{2}(\sqrt{10})(\sqrt{10})\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2}(10)\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{10\sqrt{3}}{4} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$

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3. 最終的な答え

問題14: 点と直線の距離は $\frac{5\sqrt{13}}{13}$

問題15:

(1) $\overrightarrow{CA} = (1, 3, 0)$, $\overrightarrow{CB} = (1, -2, \sqrt{5})$

(2) $\theta = \frac{2\pi}{3}$

(3) $\triangle ABC$ の面積は $\frac{5\sqrt{3}}{2}$