2つのベクトル $\vec{a} = (\cosh t, \sinh t)$ と $\vec{b} = (\sinh t, \cosh t)$ によって張られる平行四辺形の面積を求めます。

1. 問題の内容

2つのベクトル $\vec{a} = (\cosh t, \sinh t)$ と $\vec{b} = (\sinh t, \cosh t)$ によって張られる平行四辺形の面積を求めます。

2. 解き方の手順

平行四辺形の面積は、2つのベクトルで作られる行列式の絶対値で与えられます。

つまり、

$$\text{面積} = \left| \det \begin{pmatrix} \cosh t & \sinh t \\ \sinh t & \cosh t \end{pmatrix} \right|$$

行列式を計算します。

$$\det \begin{pmatrix} \cosh t & \sinh t \\ \sinh t & \cosh t \end{pmatrix} = (\cosh t)(\cosh t) - (\sinh t)(\sinh t) = \cosh^2 t - \sinh^2 t$$

双曲線関数の恒等式 $\cosh^2 t - \sinh^2 t = 1$ を用いると、

$$\cosh^2 t - \sinh^2 t = 1$$

したがって、平行四辺形の面積は

$$\text{面積} = |1| = 1$$

3. 最終的な答え

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