空間内の3つのベクトル $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ があり、$|\vec{a}|=6, |\vec{c}|=1$, $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角は $60^\circ$ である。また、$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ と $2\vec{a} - 5\vec{b}$ のなす角は、いずれも $90^\circ$ である。このとき、$|\vec{b}|$ を求める。

1. 問題の内容

空間内の3つのベクトル $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ があり、$|\vec{a}|=6, |\vec{c}|=1$, $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角は $60^\circ$ である。また、$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ と $2\vec{a} - 5\vec{b}$ のなす角は、いずれも $90^\circ$ である。このとき、$|\vec{b}|$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ と $2\vec{a} - 5\vec{b}$ が垂直であることから、内積が0となる条件を利用する。つまり、

$$(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\cdot(2\vec{a}-5\vec{b}) = 0$$

これを展開すると、

$$2|\vec{a}|^2 - 5\vec{a}\cdot\vec{b} + 2\vec{a}\cdot\vec{b} - 5|\vec{b}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{c} - 5\vec{b}\cdot\vec{c} = 0$$

$$2|\vec{a}|^2 - 3\vec{a}\cdot\vec{b} - 5|\vec{b}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{c} - 5\vec{b}\cdot\vec{c} = 0$$

$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ と $\vec{a}$ が垂直であることから、$(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\cdot\vec{a} = 0$ が成り立つ。

$$|\vec{a}|^2 + \vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c} = 0$$

$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ と $\vec{c}$ が垂直であることから、$(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\cdot\vec{c} = 0$ が成り立つ。

$$\vec{a}\cdot\vec{c} + \vec{b}\cdot\vec{c} + |\vec{c}|^2 = 0$$

$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos{60^\circ} = 6|\vec{b}|\cdot\frac{1}{2} = 3|\vec{b}|$

与えられた条件 $|\vec{a}| = 6, |\vec{c}| = 1$ を用いると、

$$36 + 3|\vec{b}| + \vec{a}\cdot\vec{c} = 0$$

$$\vec{a}\cdot\vec{c} = -36 - 3|\vec{b}|$$

$$\vec{a}\cdot\vec{c} + \vec{b}\cdot\vec{c} + 1 = 0$$

$$\vec{b}\cdot\vec{c} = -1 - \vec{a}\cdot\vec{c} = -1 - (-36 - 3|\vec{b}|) = 35 + 3|\vec{b}|$$

$$2|\vec{a}|^2 - 3\vec{a}\cdot\vec{b} - 5|\vec{b}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{c} - 5\vec{b}\cdot\vec{c} = 0$$

$$2(36) - 3(3|\vec{b}|) - 5|\vec{b}|^2 + 2(-36 - 3|\vec{b}|) - 5(35 + 3|\vec{b}|) = 0$$

$$72 - 9|\vec{b}| - 5|\vec{b}|^2 - 72 - 6|\vec{b}| - 175 - 15|\vec{b}| = 0$$

$$-5|\vec{b}|^2 - 30|\vec{b}| - 175 = 0$$

$$|\vec{b}|^2 + 6|\vec{b}| + 35 = 0$$

これは解なし. 問題文に誤りがあると思われる.

仮に、$(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\cdot\vec{a} = 0$と、$(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\cdot\vec{b} = 0$だとすると、

$$|\vec{a}|^2 + \vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c} = 0$$

$$\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2 + \vec{b}\cdot\vec{c} = 0$$

$$36 + 3|\vec{b}| + \vec{a}\cdot\vec{c} = 0$$

$$3|\vec{b}| + |\vec{b}|^2 + \vec{b}\cdot\vec{c} = 0$$

$\vec{a} \cdot \vec{c} = -3|\vec{b}| -36$

$\vec{b} \cdot \vec{c} = -|\vec{b}|^2 - 3|\vec{b}|$

$(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\cdot\vec{c}=0$

$\vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c} + 1 = 0$

$-3|\vec{b}|-36 -|\vec{b}|^2 -3|\vec{b}|+1 = 0$

$|\vec{b}|^2+6|\vec{b}|+35=0$

解なし

3. 最終的な答え

解なし

問題文に誤りがあるか、もしくは与えられた条件を満たすベクトルは存在しない。