直線 $y = 3x + 5$ の法線ベクトルが $\begin{pmatrix} c \\ -1 \end{pmatrix}$ で与えられたとき、$c$ の値を求める。

1. 問題の内容

直線 $y = 3x + 5$ の法線ベクトルが $\begin{pmatrix} c \\ -1 \end{pmatrix}$ で与えられたとき、$c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた直線の式を一般形に変形します。$y = 3x + 5$ を変形すると、

$$3x - y + 5 = 0$$

となります。

直線の一般形 $ax + by + c = 0$ に対して、法線ベクトルは $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ で与えられます。

この問題の場合、$a = 3$、$b = -1$ ですから、法線ベクトルは $\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ となります。

問題文より、法線ベクトルは $\begin{pmatrix} c \\ -1 \end{pmatrix}$ で与えられています。

したがって、$\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c \\ -1 \end{pmatrix}$ となるので、$c = 3$ です。

3. 最終的な答え

$c = 3$