三角形OABにおいて、辺OAを3:2に内分する点をC、辺ABを2:1に内分する点をDとする。線分BCと線分ODの交点をPとするとき、以下の問いに答えよ。 (1) ベクトルODをベクトルOAとベクトルOBで表せ。 (2) ベクトルOP = ベクトルOC + t * ベクトルCBを変形し、ベクトルOPをベクトルOAとベクトルOBで表せ。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、辺OAを3:2に内分する点をC、辺ABを2:1に内分する点をDとする。線分BCと線分ODの交点をPとするとき、以下の問いに答えよ。

(1) ベクトルODをベクトルOAとベクトルOBで表せ。

(2) ベクトルOP = ベクトルOC + t * ベクトルCBを変形し、ベクトルOPをベクトルOAとベクトルOBで表せ。

2. 解き方の手順

(1) 点Dは辺ABを2:1に内分するので、内分点の公式より

$OD = \frac{1 \cdot OA + 2 \cdot OB}{2 + 1} = \frac{1}{3}OA + \frac{2}{3}OB$

(2) 点Pは線分OD上にあるので、実数kを用いて

$OP = kOD = k(\frac{1}{3}OA + \frac{2}{3}OB) = \frac{k}{3}OA + \frac{2k}{3}OB$

と表せる。

また、点Pは線分BC上にあるので、ベクトルOPは

$OP = OC + tCB$

と表せる。ここで、点Cは辺OAを3:2に内分するので

$OC = \frac{3}{5}OA$

また、

$CB = OB - OC = OB - \frac{3}{5}OA = -\frac{3}{5}OA + OB$

よって

$OP = \frac{3}{5}OA + t(-\frac{3}{5}OA + OB) = (\frac{3}{5} - \frac{3}{5}t)OA + tOB$

したがって、

$\frac{k}{3}OA + \frac{2k}{3}OB = (\frac{3}{5} - \frac{3}{5}t)OA + tOB$

OAとOBは一次独立なので、係数を比較して

$\frac{k}{3} = \frac{3}{5} - \frac{3}{5}t$

$\frac{2k}{3} = t$

二つ目の式を一つ目の式に代入して

$\frac{k}{3} = \frac{3}{5} - \frac{3}{5} \cdot \frac{2k}{3}$

$\frac{k}{3} = \frac{3}{5} - \frac{2k}{5}$

両辺に15をかけて

$5k = 9 - 6k$

$11k = 9$

$k = \frac{9}{11}$

よって

$OP = \frac{k}{3}OA + \frac{2k}{3}OB = \frac{9/11}{3}OA + \frac{2(9/11)}{3}OB = \frac{3}{11}OA + \frac{6}{11}OB$

3. 最終的な答え

(1) $OD = \frac{1}{3}OA + \frac{2}{3}OB$

(2) $OP = \frac{3}{11}OA + \frac{6}{11}OB$