内積の定義 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta}$ を用いる。

## 問題の解答

以下に画像の問題の解答を示します。

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6. 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求めよ。**

(1) $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 5, \theta = \frac{\pi}{3}$

(2) $|\vec{a}| = 3, |\vec{b}| = 2\sqrt{2}, \theta = \frac{3}{4}\pi$

(3) $\vec{a} = (2, 5), \vec{b} = (8, -3)$

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7. $\vec{a} = (1, 1), \vec{b} = (1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3})$ のとき、$\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角$\theta$を求めよ。**

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8. $\vec{a} = (-1, 2)$ に垂直な単位ベクトルを求めよ。**

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9. $|\vec{a}| = 3, |\vec{b}| = 2, |\vec{a} - 2\vec{b}| = \sqrt{37}$ のとき、以下の問いに答えよ。**

(1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求めよ。

(2) 2つのベクトル $\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角$\theta$を求めよ。

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6. 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求めよ。

**(1) $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 5, \theta = \frac{\pi}{3}$**

1. 解き方の手順

内積の定義 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta}$ を用いる。

2. 計算

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta} = 2 \cdot 5 \cdot \cos{\frac{\pi}{3}} = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$

3. 最終的な答え

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$

**(2) $|\vec{a}| = 3, |\vec{b}| = 2\sqrt{2}, \theta = \frac{3}{4}\pi$**

1. 解き方の手順

内積の定義 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta}$ を用いる。

2. 計算

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta} = 3 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \cos{\frac{3}{4}\pi} = 6\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -6$

3. 最終的な答え

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -6$

**(3) $\vec{a} = (2, 5), \vec{b} = (8, -3)$**

1. 解き方の手順

$\vec{a} = (a_1, a_2), \vec{b} = (b_1, b_2)$ のとき、$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2$ を用いる。

2. 計算

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 8 + 5 \cdot (-3) = 16 - 15 = 1$

3. 最終的な答え

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$

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7. $\vec{a} = (1, 1), \vec{b} = (1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3})$ のとき、$\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角$\theta$を求めよ。

1. 解き方の手順

$\cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ を用いて、$\cos{\theta}$を求める。

2. 計算

まず、$\vec{a} \cdot \vec{b}$ を計算する。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1(1 - \sqrt{3}) + 1(1 + \sqrt{3}) = 1 - \sqrt{3} + 1 + \sqrt{3} = 2$

次に、 $|\vec{a}|$ を計算する。

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

次に、 $|\vec{b}|$ を計算する。

$|\vec{b}| = \sqrt{(1 - \sqrt{3})^2 + (1 + \sqrt{3})^2} = \sqrt{1 - 2\sqrt{3} + 3 + 1 + 2\sqrt{3} + 3} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

したがって、

$\cos{\theta} = \frac{2}{\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$\theta = \frac{\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{3}$

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8. $\vec{a} = (-1, 2)$ に垂直な単位ベクトルを求めよ。

1. 解き方の手順

$\vec{a} = (-1, 2)$ に垂直なベクトルを $\vec{b} = (x, y)$ とする。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ を満たす必要がある。

さらに、単位ベクトルなので $|\vec{b}| = 1$ を満たす必要がある。

2. 計算

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -x + 2y = 0$ より $x = 2y$

$|\vec{b}| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(2y)^2 + y^2} = \sqrt{5y^2} = |y|\sqrt{5} = 1$

よって、$y = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$

$y = \frac{1}{\sqrt{5}}$ のとき、$x = \frac{2}{\sqrt{5}}$

$y = -\frac{1}{\sqrt{5}}$ のとき、$x = -\frac{2}{\sqrt{5}}$

したがって、$\vec{b} = (\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}})$ または $\vec{b} = (-\frac{2}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}})$

3. 最終的な答え

$(\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}})$ または $(-\frac{2}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}})$

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9. $|\vec{a}| = 3, |\vec{b}| = 2, |\vec{a} - 2\vec{b}| = \sqrt{37}$ のとき、以下の問いに答えよ。

**(1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求めよ。**

1. 解き方の手順

$|\vec{a} - 2\vec{b}|^2 = (\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b})$ を展開し、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める。

2. 計算

$|\vec{a} - 2\vec{b}|^2 = (\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - 4\vec{a} \cdot \vec{b} + 4\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} + 4|\vec{b}|^2$

$\sqrt{37}^2 = 3^2 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} + 4 \cdot 2^2$

$37 = 9 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} + 16$

$37 = 25 - 4\vec{a} \cdot \vec{b}$

$12 = -4\vec{a} \cdot \vec{b}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -3$

3. 最終的な答え

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -3$

**(2) 2つのベクトル $\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角$\theta$を求めよ。**

1. 解き方の手順

$\cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ を用いて、$\cos{\theta}$を求める。

2. 計算

$\cos{\theta} = \frac{-3}{3 \cdot 2} = -\frac{1}{2}$

$\theta = \frac{2}{3}\pi$

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{2}{3}\pi$