ベクトル $\vec{a} = (2, -1, 3)$ と $\vec{b} = (0, -2, 1)$ の両方に垂直で、大きさが $3\sqrt{5}$ のベクトルを求める問題です。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (2, -1, 3)$ と $\vec{b} = (0, -2, 1)$ の両方に垂直で、大きさが $3\sqrt{5}$ のベクトルを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に垂直なベクトル $\vec{v}$ を求めます。$\vec{v} = (x, y, z)$ とすると、$\vec{a} \cdot \vec{v} = 0$ かつ $\vec{b} \cdot \vec{v} = 0$ を満たす必要があります。

$\vec{a} \cdot \vec{v} = 2x - y + 3z = 0$

$\vec{b} \cdot \vec{v} = 0x - 2y + z = 0$

2つ目の式から $z = 2y$ が得られます。

これを1つ目の式に代入すると、

$2x - y + 3(2y) = 0$

$2x - y + 6y = 0$

$2x + 5y = 0$

$2x = -5y$

$x = -\frac{5}{2}y$

したがって、$\vec{v} = (-\frac{5}{2}y, y, 2y)$ と表せます。$y$ を任意の実数とすると、$\vec{v}$ は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に垂直なベクトルとなります。

次に、$\vec{v}$ の大きさが $3\sqrt{5}$ になるように $y$ の値を決定します。

$|\vec{v}| = \sqrt{(-\frac{5}{2}y)^2 + y^2 + (2y)^2} = \sqrt{\frac{25}{4}y^2 + y^2 + 4y^2} = \sqrt{\frac{25}{4}y^2 + \frac{4}{4}y^2 + \frac{16}{4}y^2} = \sqrt{\frac{45}{4}y^2} = \frac{3\sqrt{5}}{2}|y| = 3\sqrt{5}$

$|y| = 2$

よって、$y = 2$ または $y = -2$ となります。

$y = 2$ のとき、$\vec{v} = (-\frac{5}{2}(2), 2, 2(2)) = (-5, 2, 4)$

$y = -2$ のとき、$\vec{v} = (-\frac{5}{2}(-2), -2, 2(-2)) = (5, -2, -4)$

3. 最終的な答え

求めるベクトルは $(-5, 2, 4)$ または $(5, -2, -4)$ です。