三角形OABにおいて、辺OAを3:2に内分する点をC、辺ABを2:1に内分する点をDとする。線分BCと線分ODの交点をPとするとき、以下の問いに答える。 (1) $\vec{OD}$を$\vec{OA}$と$\vec{OB}$で表す。 (2) $\vec{OP} = \vec{OC} + t\vec{CB}$を変形し、$\vec{OP}$を$\vec{OA}$と$\vec{OB}$で表す。 (3) OP:PDを求める。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、辺OAを3:2に内分する点をC、辺ABを2:1に内分する点をDとする。線分BCと線分ODの交点をPとするとき、以下の問いに答える。

(1) $\vec{OD}$を$\vec{OA}$と$\vec{OB}$で表す。

(2) $\vec{OP} = \vec{OC} + t\vec{CB}$を変形し、$\vec{OP}$を$\vec{OA}$と$\vec{OB}$で表す。

(3) OP:PDを求める。

2. 解き方の手順

(1) 点Dは辺ABを2:1に内分するので、内分点の公式より、

$\vec{OD} = \frac{1\cdot\vec{OA} + 2\cdot\vec{OB}}{1+2} = \frac{\vec{OA} + 2\vec{OB}}{3}$

(2) $\vec{OC} = \frac{3}{5}\vec{OA}$

$\vec{CB} = \vec{OB} - \vec{OC} = \vec{OB} - \frac{3}{5}\vec{OA}$

$\vec{OP} = \vec{OC} + t\vec{CB} = \frac{3}{5}\vec{OA} + t(\vec{OB} - \frac{3}{5}\vec{OA}) = \frac{3}{5}\vec{OA} + t\vec{OB} - \frac{3}{5}t\vec{OA} = (\frac{3}{5} - \frac{3}{5}t)\vec{OA} + t\vec{OB} = \frac{3(1-t)}{5}\vec{OA} + t\vec{OB}$

(3) 点Pは線分OD上にあるので、実数kを用いて$\vec{OP} = k\vec{OD}$と表せる。

$\vec{OP} = k\vec{OD} = k(\frac{\vec{OA} + 2\vec{OB}}{3}) = \frac{k}{3}\vec{OA} + \frac{2k}{3}\vec{OB}$

$\vec{OP}$の2通りの表し方より、

$\frac{3(1-t)}{5}\vec{OA} + t\vec{OB} = \frac{k}{3}\vec{OA} + \frac{2k}{3}\vec{OB}$

$\vec{OA}$と$\vec{OB}$は一次独立なので、

$\frac{3(1-t)}{5} = \frac{k}{3}$かつ$t = \frac{2k}{3}$

$k = \frac{9(1-t)}{5}$と$t = \frac{2k}{3}$を連立して解く。

$t = \frac{2}{3} \cdot \frac{9(1-t)}{5} = \frac{6(1-t)}{5}$

$5t = 6 - 6t$

$11t = 6$

$t = \frac{6}{11}$

$k = \frac{3}{2}t = \frac{3}{2} \cdot \frac{6}{11} = \frac{9}{11}$

$\vec{OP} = \frac{9}{11}\vec{OD}$なので、OP:PD = 9:2

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OD} = \frac{\vec{OA} + 2\vec{OB}}{3}$

(2) $\vec{OP} = \frac{3(1-t)}{5}\vec{OA} + t\vec{OB}$

(3) OP:PD = 9:2