一辺の長さが6の正四面体OABCにおいて、辺OAを1:2に内分する点をPとする。 (1) $\angle BPC = \theta$ とおく。PB, PCの長さ、および$\cos{\theta}$を求める。さらに、$\triangle PBC$の面積Sを求める。 (2) 頂点Oから底面ABCに下ろした垂線をOGとするとき、OGの長さを求める。正四面体OABCの体積Vを求め、四面体OPBCの体積V'を求める。頂点Oから平面PBCに下ろした垂線をOHとするとき、OHの長さを求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが6の正四面体OABCにおいて、辺OAを1:2に内分する点をPとする。

(1) $\angle BPC = \theta$ とおく。PB, PCの長さ、および$\cos{\theta}$を求める。さらに、$\triangle PBC$の面積Sを求める。

(2) 頂点Oから底面ABCに下ろした垂線をOGとするとき、OGの長さを求める。正四面体OABCの体積Vを求め、四面体OPBCの体積V'を求める。頂点Oから平面PBCに下ろした垂線をOHとするとき、OHの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1)

PBとPCの長さは等しく、$\triangle OAB$と$\triangle OAC$において余弦定理を用いると

$PB^2 = OB^2 + OP^2 - 2 \cdot OB \cdot OP \cdot \cos{\angle AOB}$

$OB = 6$, $OP = \frac{1}{3} OA = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2$, $\angle AOB = 60^\circ$ より

$PB^2 = 6^2 + 2^2 - 2 \cdot 6 \cdot 2 \cdot \cos{60^\circ} = 36 + 4 - 2 \cdot 6 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 40 - 12 = 28$

$PB = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$

同様に$PC = 2\sqrt{7}$

$\triangle PBC$において余弦定理を用いると

$BC^2 = PB^2 + PC^2 - 2 \cdot PB \cdot PC \cdot \cos{\theta}$

$6^2 = (2\sqrt{7})^2 + (2\sqrt{7})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{7} \cdot 2\sqrt{7} \cdot \cos{\theta}$

$36 = 28 + 28 - 2 \cdot 28 \cdot \cos{\theta}$

$36 = 56 - 56\cos{\theta}$

$56\cos{\theta} = 56 - 36 = 20$

$\cos{\theta} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}$

$\sin^2{\theta} = 1 - \cos^2{\theta} = 1 - \left(\frac{5}{14}\right)^2 = 1 - \frac{25}{196} = \frac{196 - 25}{196} = \frac{171}{196}$

$\sin{\theta} = \sqrt{\frac{171}{196}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 19}}{14} = \frac{3\sqrt{19}}{14}$

$\triangle PBC$の面積Sは

$S = \frac{1}{2} \cdot PB \cdot PC \cdot \sin{\theta} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{7} \cdot 2\sqrt{7} \cdot \frac{3\sqrt{19}}{14} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 7 \cdot \frac{3\sqrt{19}}{14} = 2 \cdot 7 \cdot \frac{3\sqrt{19}}{14} = 3\sqrt{19}$

(2)

正四面体OABCの高さOGは、正三角形ABCの中心Gに対して$AG = \frac{2}{3} \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$

$\triangle OAG$において$OA^2 = OG^2 + AG^2$より

$OG^2 = OA^2 - AG^2 = 6^2 - (2\sqrt{3})^2 = 36 - 12 = 24$

$OG = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$

正四面体OABCの体積Vは

$V = \frac{1}{3} \cdot (\triangle ABCの面積) \cdot OG = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2 \cdot 2\sqrt{6} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 \cdot 2\sqrt{6} = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{6} = 6\sqrt{18} = 6 \cdot 3\sqrt{2} = 18\sqrt{2}$

四面体OPBCの体積V'は、四面体OABCの体積の $\frac{1}{3}$ であるから

$V' = \frac{1}{3} V = \frac{1}{3} \cdot 18\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

四面体OPBCの体積は $V' = \frac{1}{3} \cdot (\triangle PBCの面積) \cdot OH$ であるから

$6\sqrt{2} = \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{19} \cdot OH$

$6\sqrt{2} = \sqrt{19} \cdot OH$

$OH = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{19}} = \frac{6\sqrt{38}}{19}$

3. 最終的な答え

(1)

PB = PC = $2\sqrt{7}$

$\cos{\theta} = \frac{5}{14}$

S = $3\sqrt{19}$

(2)

OG = $2\sqrt{6}$

V = $18\sqrt{2}$

V' = $6\sqrt{2}$

OH = $\frac{6\sqrt{38}}{19}$