与えられた問題は、以下の6つの小問から構成されています。 (1) 3点 A(1,-1), B(-2,-3), C(4,a) が一直線上にあるとき、定数 $a$ の値を求めよ。 (2) 3点 A(1,2), B(3,1), C(a,-1) が一直線上にあるとき、定数 $a$ の値を求めよ。 (3) 3点 A(-3,-9), B(5,7), C(a+3,3a-2) が一直線上にあるとき、定数 $a$ の値を求めよ。 (4) 2直線 3x+5y-1=0, 7x+8y-6=0 の交点を通り、点(-1,2) を通る直線の方程式を求めよ。 (5) 2直線 x+2y-4=0, 2x-y-3=0 の交点を通り、点(-3,-1) を通る直線の方程式を求めよ。 (6) 2直線 6x+5y+7=0, 3x-2y+5=0 の交点を通り、原点を通る直線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた問題は、以下の6つの小問から構成されています。

(1) 3点 A(1,-1), B(-2,-3), C(4,a) が一直線上にあるとき、定数 $a$ の値を求めよ。

(2) 3点 A(1,2), B(3,1), C(a,-1) が一直線上にあるとき、定数 $a$ の値を求めよ。

(3) 3点 A(-3,-9), B(5,7), C(a+3,3a-2) が一直線上にあるとき、定数 $a$ の値を求めよ。

(4) 2直線 3x+5y-1=0, 7x+8y-6=0 の交点を通り、点(-1,2) を通る直線の方程式を求めよ。

(5) 2直線 x+2y-4=0, 2x-y-3=0 の交点を通り、点(-3,-1) を通る直線の方程式を求めよ。

(6) 2直線 6x+5y+7=0, 3x-2y+5=0 の交点を通り、原点を通る直線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 3点が一直線上にある条件は、2点間の傾きが等しいことです。

ABの傾きは $\frac{-3 - (-1)}{-2 - 1} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}$

BCの傾きは $\frac{a - (-3)}{4 - (-2)} = \frac{a+3}{6}$

$\frac{a+3}{6} = \frac{2}{3}$ より、$a+3 = 4$ よって、$a=1$

(2) 同様に、ABの傾きは $\frac{1-2}{3-1} = \frac{-1}{2}$

BCの傾きは $\frac{-1-1}{a-3} = \frac{-2}{a-3}$

$\frac{-2}{a-3} = \frac{-1}{2}$ より、$a-3 = 4$ よって、$a=7$

(3) ABの傾きは $\frac{7 - (-9)}{5 - (-3)} = \frac{16}{8} = 2$

BCの傾きは $\frac{3a-2 - 7}{a+3 - 5} = \frac{3a-9}{a-2}$

$\frac{3a-9}{a-2} = 2$ より、$3a-9 = 2a-4$ よって、$a=5$

(4) 2直線の交点を通る直線の方程式は、$k(3x+5y-1) + (7x+8y-6) = 0$ と表せます。

この直線が点(-1,2) を通るので、$k(3(-1)+5(2)-1) + (7(-1)+8(2)-6) = 0$

$k(-3+10-1) + (-7+16-6) = 0$ より、$6k + 3 = 0$ よって、$k = -\frac{1}{2}$

$-\frac{1}{2}(3x+5y-1) + (7x+8y-6) = 0$

$-3x-5y+1 + 14x+16y-12 = 0$

$11x + 11y - 11 = 0$

$x+y-1 = 0$

(5) 同様に、$k(x+2y-4) + (2x-y-3) = 0$

この直線が点(-3,-1) を通るので、$k(-3+2(-1)-4) + (2(-3)-(-1)-3) = 0$

$k(-3-2-4) + (-6+1-3) = 0$

$-9k - 8 = 0$ より、$k = -\frac{8}{9}$

$-\frac{8}{9}(x+2y-4) + (2x-y-3) = 0$

$-8x-16y+32 + 18x-9y-27 = 0$

$10x - 25y + 5 = 0$

$2x - 5y + 1 = 0$

(6) 同様に、$k(6x+5y+7) + (3x-2y+5) = 0$

この直線が原点(0,0) を通るので、$k(6(0)+5(0)+7) + (3(0)-2(0)+5) = 0$

$7k + 5 = 0$ より、$k = -\frac{5}{7}$

$-\frac{5}{7}(6x+5y+7) + (3x-2y+5) = 0$

$-30x-25y-35 + 21x-14y+35 = 0$

$-9x - 39y = 0$

$3x + 13y = 0$

3. 最終的な答え

(1) $a=1$

(2) $a=7$

(3) $a=5$

(4) $x+y-1=0$

(5) $2x-5y+1=0$

(6) $3x+13y=0$