ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を以下の3つの場合について求めます。 (1) $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 5$, $\theta = \frac{\pi}{3}$ (2) $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2\sqrt{2}$, $\theta = \frac{3}{4}\pi$ (3) $\vec{a} = (2, 5)$, $\vec{b} = (8, -3)$

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を以下の3つの場合について求めます。

(1) $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 5$, $\theta = \frac{\pi}{3}$

(2) $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2\sqrt{2}$, $\theta = \frac{3}{4}\pi$

(3) $\vec{a} = (2, 5)$, $\vec{b} = (8, -3)$

2. 解き方の手順

(1) ベクトルの内積の定義式 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta$ を用います。

$|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 5$, $\theta = \frac{\pi}{3}$ を代入すると、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 5 \cdot \cos\frac{\pi}{3} = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$

(2) 同様に、$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta$ を用います。

$|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2\sqrt{2}$, $\theta = \frac{3}{4}\pi$ を代入すると、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \cos\frac{3}{4}\pi = 6\sqrt{2} \cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = -6$

(3) $\vec{a} = (a_1, a_2)$, $\vec{b} = (b_1, b_2)$ のとき、$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2$ を用います。

$\vec{a} = (2, 5)$, $\vec{b} = (8, -3)$ なので、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 8 + 5 \cdot (-3) = 16 - 15 = 1$

3. 最終的な答え

(1) 5

(2) -6

(3) 1