問題は、三角関数の定義、弧度法と度数法の関係、扇形の弧の長さと面積、一般角、三角関数の周期性など、三角関数に関する基本的な知識を問う穴埋め問題です。

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

問題は、三角関数の定義、弧度法と度数法の関係、扇形の弧の長さと面積、一般角、三角関数の周期性など、三角関数に関する基本的な知識を問う穴埋め問題です。

2. 解き方の手順

(1) 円弧の長さを角の大きさとして表す測り方は **弧度** 法です。

(2) 度数法の1°は弧度法で $\frac{2\pi}{360} = \frac{\pi}{180}$ である。100°は弧度法で $100 \times \frac{\pi}{180} = \frac{5}{9}\pi$ です。 1ラジアンは度数法で $\frac{180}{\pi}$ 度に等しく、小数第1位まで求めると約57.3度です。

(3) 弧度法で中心角$\theta$, 半径$r$の扇形の円弧の長さは $r\theta$、面積は $\frac{1}{2}r^2\theta$ です。

(4) 動径OPの「符号付き長さ」とは、点Pが点Aを出発して単位円上を動くとき、点Pが辿る円弧APの長さのことです。動径OPが反時計回りのとき正の長さ、時計回りのとき負の長さと考えます。

(5) 動径OPの一般角$\theta \in \mathbb{R}$に対し、一般角$\theta + 2\pi m$ ($m \in \mathbb{Z}$) も同じ点Pを与えます。

(6) O(0,0), A(1,0)となる直交座標を入れ、P(x,y)とおくと、動径OPの一般角$\theta \in \mathbb{R}$に対し、

$\cos \theta = x$, $\sin \theta = y$, $\tan \theta = \frac{y}{x}$ です。

(7) (5)と(6)より、三角関数のそれぞれの定義域において、次の周期性が成り立ちます。

$\cos(\theta + 2\pi) = \cos \theta$, $\sin(\theta + 2\pi) = \sin \theta$, $\tan(\theta + \pi) = \tan \theta$ です。

(8) 関数 $\cos \theta$と$\sin \theta$の定義域は$\mathbb{R}$、値域は $[-1, 1]$ に含まれる。一方、関数 $\tan \theta$ は、$\theta = \dots, -\frac{5\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \dots$ のとき定義されず、値域は $\mathbb{R}$ に含まれます。

3. 最終的な答え

(1) 弧度

(2) $\frac{\pi}{180}$, $\frac{5}{9}\pi$, 57.3

(3) $r\theta$, $\frac{1}{2}r^2\theta$

(4) 反時計, 時計

(5) $2\pi$

(6) $x$, $y$, $\frac{y}{x}$

(7) $\cos \theta$, $\sin \theta$, $\tan \theta$

(8) $\mathbb{R}$, $[-1, 1]$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{R}$